字符串相似度

余弦相似度

計算公式為：

　　P(A，B) = sqrt(A × B) / (|A| × |B|)

設有兩個字符串：

1. ABCDEFG
2. ABCHIJK

其中共有11個字符，為：

　　A B C D E F G H I J K

如果，不考慮他們之間的關聯性以及順序等隱私，那么可以講這兩個字符串轉換成兩個11維空間中的向量：

1. {1、1、1、1、1、1、1、0、0、0、0}
2. {1、1、1、0、0、0、0、1、1、1、1}

那，計算他們之間的相似度為：

　　P = sqrt(3) / (sqrt(7) × sqrt(7)) = 0.2474358297

矩陣相似度

給定兩個長度相等的字符串，在移動的過程中比較：

a	b	c	d	d	a	c	b	c	b
		a	a	d	a	c	c	b	d	d	c

首先有幾個變量：

1. n：字符串的長度，此時為10；
2. m：相同的字符，此時為3，包括d、a、c；
3. r：兩個字符串重疊部分，此時為8；

那么給出定義：

1. 重疊率：L = r / n。
2. 匹配率：M = m / n。
3. 相似度：Q = M^2 × L = (m^2 / n^2) × (r / n)。

其實為什么這樣定義也很好理解，將Q變形一下就可以得到：

　　Q = (m^2 / r^2) × (r / n)

前半部分表示了當前相同的比率，后半部分表示了重疊的比率，然后呢，廢話就不多說了。其實，還有一個要考慮的地方，舉個例子：

　　str1：abcabc

　　str2：abcdabc

str1和str2的相似度是很高的，但是，在移位錯開的過程中根本沒辦法找到這種匹配。想想其實原因也是非常簡單的：把所有的字符都死板地粘合在了一起！那么，我們要做的其實就是將他們打散來匹配。首先，根據字符串A和字符串B來構造矩陣R：

　　A_i和B_i+j相同時，R_ij = 1；否則，R_ij = 0。

那么，現在要做的事情就是，在矩陣R中尋找一條路徑，使得這條路徑上的1最多，這個問題和求兩個字符串的最大匹配很像的DP問題，這里就不啰嗦了。

字符串編輯距離

還有一種衡量兩個字符串之間的差異性的方法是，計算兩個字符串轉換時候需要的最少操作，需要的操作越少說明這兩個字符串越相似。

假設字符串的操作只有三種：

1. 插入一個字符；
2. 刪除一個字符；
3. 替換一個字符；

兩個字符串之間的編輯距離定義為：從字符串str1到str2的最少的操作次數。首先，編輯距離是不會大於str1.length + str2.length的。假設求字符A、B的編輯距離，考慮下面幾種情況：

如果A[i] = B[j]，那么這時候還需要操作嗎？

這個時候的刪除和替換操作只會讓情況變得更壞，而且插入操作不會使情況變得更好，所以此時F(i, j) = F(i-1, j-1)。

如果A[i] != B[j]，怎么辦呢？

a、從F(i-1, j-1)變過來，這時候只需要把A[i]替換為B[j]即可；

b、從F(i-1, j)變過來，這時候只需要將A[i]刪除即可；

c、從F(i, j-1)變過來，這時候只需要在A[i]后插入字符B[j]即可；

那么此時，F(i, j) = min{F(i-1，j-1)，F(i-1，j)，F(i，j-1)} + 1。

注：其中F(i, j)表示A[0..i]和B[0..j]之間的編輯距離。看完這種相似度想起了BFS的入門題目：《聰明的打字員》，囧。

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END。