划分樹

昨天的杭電多校聯合訓練熱身賽的一道題，求區間的中位數，快排會超時，划分樹的模版題。。 

 

划分樹是一種基於線段樹的數據結構。主要用於快速求出(在log(n)的時間復雜度內）序列區間的第k大值 。

划分樹和歸並樹都是用線段樹作為輔助的，原理是基於快排 和歸並排序 的。

划分樹的建樹過程基本就是模擬快排過程，取一個已經排過序的區間中值，然后把小於中值的點放左邊，大於的放右邊。並且記錄d層第i個數之前（包括i）小於中值的放在左邊的數。具體看下面代碼注釋。

查找其實是關鍵，因為再因查找[l,r]需要到某一點的左右孩子時需要把[l,r]更新。具體分如下幾種情況討論：
假設要在區間[l,r]中查找第k大元素，t為當前節點，lch，rch為左右孩子，left，mid為節點t左邊界和中間點。
1、sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],區間對應為[ left+sum[l-1] , left+sum[r]-1 ]
2、sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，區間對應為[ mid+1+l-left-sum[l-1] , mid+1+r-left-sum[r] ]

上面兩個關系在紙上可以推出來，對着上圖更容易理解關系式

POJ 2104 划分樹模板    http://poj.org/problem?id=2104

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4  using  namespace std;
 5  #define N 100005
 6  int a[N],  as[N]; // 原數組，排序后數組
 7  int n, m;
 8  int sum[ 20][N]; // 記錄第i層的1~j划分到左子樹的元素個數(包括j)
 9  int tree[ 20][N]; // 記錄第i層元素序列
10  void build( int c,  int l,  int r){
11      int i, mid = (l + r) >>  1, lm = mid - l +  1, lp = l, rp = mid +  1;
12      for (i = l; i <= mid; i++){
13          if ( as[i] <  as[mid]){
14             lm--; // 先假設左邊的(mid - l + 1)個數都等於as[mid],然后把實際上小於as[mid]的減去
15          }
16     }
17      for (i = l; i <= r; i++){
18          if (i == l){
19             sum[c][i] =  0; // sum[i]表示[l, i]內有多少個數分到左邊，用DP來維護
20          } else{
21             sum[c][i] = sum[c][i -  1];
22         }
23          if (tree[c][i] ==  as[mid]){
24              if (lm){
25                 lm--;
26                 sum[c][i]++;
27                 tree[c +  1][lp++] = tree[c][i];
28             } else
29                 tree[c +  1][rp++] = tree[c][i];
30         }  else  if (tree[c][i] <  as[mid]){
31             sum[c][i]++;
32             tree[c +  1][lp++] = tree[c][i];
33         }  else{
34             tree[c +  1][rp++] = tree[c][i];
35         }
36     }
37      if (l == r) return;
38     build(c +  1, l, mid);
39     build(c +  1, mid +  1, r);
40 }
41  int query( int c,  int l,  int r,  int ql,  int qr,  int k){
42      int s; // [l, ql)內將被划分到左子樹的元素數目
43       int ss; // [ql, qr]內將被划分到左子樹的元素數目
44       int mid = (l + r) >>  1;
45      if (l == r){
46          return tree[c][l];
47     }
48      if (l == ql){ // 這里要特殊處理！
49      s =  0;
50     ss = sum[c][qr];
51     } else{
52         s = sum[c][ql -  1];
53         ss = sum[c][qr] - s;
54     } // 假設要在區間[l,r]中查找第k大元素，t為當前節點，lch，rch為左右孩子，left，mid為節點t左邊界和中間點。
55       if (k <= ss){ // sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],區間對應為[ left+sum[l-1], left+sum[r]-1 ]
56           return query(c +  1, l, mid, l + s, l + s + ss -  1, k);
57     } else{ // sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，區間對應為[ mid+1+l-left-sum[l-1], mid+1+r-left-sum[r] ]
58           return query(c +  1, mid +  1, r, mid - l +  1 + ql - s, mid - l +  1 + qr - s - ss,k - ss);
59     }
60 }
61  int main(){
62      int i, j, k;
63      while(~scanf( " %d%d ", &n, &m)){
64          for (i =  1; i <= n; i++){
65             scanf( " %d ", &a[i]);
66             tree[ 0][i] =  as[i] = a[i];
67         }
68         sort( as +  1,  as +  1 + n);
69         build( 0,  1, n);
70          while(m--){
71             scanf( " %d%d%d ",&i,&j,&k); //  i,j分別為區間起始點，k為該區間第k大的數。
72              printf( " %d\n ", query( 0,  1, n, i, j, k));
73         }
74     }
75      return  0;

76 }