划分树

昨天的杭电多校联合训练热身赛的一道题，求区间的中位数，快排会超时，划分树的模版题。。 

 

划分树是一种基于线段树的数据结构。主要用于快速求出(在log(n)的时间复杂度内）序列区间的第k大值 。

划分树和归并树都是用线段树作为辅助的，原理是基于快排 和归并排序 的。

划分树的建树过程基本就是模拟快排过程，取一个已经排过序的区间中值，然后把小于中值的点放左边，大于的放右边。并且记录d层第i个数之前（包括i）小于中值的放在左边的数。具体看下面代码注释。

查找其实是关键，因为再因查找[l,r]需要到某一点的左右孩子时需要把[l,r]更新。具体分如下几种情况讨论：
假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
1、sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1] , left+sum[r]-1 ]
2、sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1] , mid+1+r-left-sum[r] ]

上面两个关系在纸上可以推出来，对着上图更容易理解关系式

POJ 2104 划分树模板    http://poj.org/problem?id=2104

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4  using  namespace std;
 5  #define N 100005
 6  int a[N],  as[N]; // 原数组，排序后数组
 7  int n, m;
 8  int sum[ 20][N]; // 记录第i层的1~j划分到左子树的元素个数(包括j)
 9  int tree[ 20][N]; // 记录第i层元素序列
10  void build( int c,  int l,  int r){
11      int i, mid = (l + r) >>  1, lm = mid - l +  1, lp = l, rp = mid +  1;
12      for (i = l; i <= mid; i++){
13          if ( as[i] <  as[mid]){
14             lm--; // 先假设左边的(mid - l + 1)个数都等于as[mid],然后把实际上小于as[mid]的减去
15          }
16     }
17      for (i = l; i <= r; i++){
18          if (i == l){
19             sum[c][i] =  0; // sum[i]表示[l, i]内有多少个数分到左边，用DP来维护
20          } else{
21             sum[c][i] = sum[c][i -  1];
22         }
23          if (tree[c][i] ==  as[mid]){
24              if (lm){
25                 lm--;
26                 sum[c][i]++;
27                 tree[c +  1][lp++] = tree[c][i];
28             } else
29                 tree[c +  1][rp++] = tree[c][i];
30         }  else  if (tree[c][i] <  as[mid]){
31             sum[c][i]++;
32             tree[c +  1][lp++] = tree[c][i];
33         }  else{
34             tree[c +  1][rp++] = tree[c][i];
35         }
36     }
37      if (l == r) return;
38     build(c +  1, l, mid);
39     build(c +  1, mid +  1, r);
40 }
41  int query( int c,  int l,  int r,  int ql,  int qr,  int k){
42      int s; // [l, ql)内将被划分到左子树的元素数目
43       int ss; // [ql, qr]内将被划分到左子树的元素数目
44       int mid = (l + r) >>  1;
45      if (l == r){
46          return tree[c][l];
47     }
48      if (l == ql){ // 这里要特殊处理！
49      s =  0;
50     ss = sum[c][qr];
51     } else{
52         s = sum[c][ql -  1];
53         ss = sum[c][qr] - s;
54     } // 假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
55       if (k <= ss){ // sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1], left+sum[r]-1 ]
56           return query(c +  1, l, mid, l + s, l + s + ss -  1, k);
57     } else{ // sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1], mid+1+r-left-sum[r] ]
58           return query(c +  1, mid +  1, r, mid - l +  1 + ql - s, mid - l +  1 + qr - s - ss,k - ss);
59     }
60 }
61  int main(){
62      int i, j, k;
63      while(~scanf( " %d%d ", &n, &m)){
64          for (i =  1; i <= n; i++){
65             scanf( " %d ", &a[i]);
66             tree[ 0][i] =  as[i] = a[i];
67         }
68         sort( as +  1,  as +  1 + n);
69         build( 0,  1, n);
70          while(m--){
71             scanf( " %d%d%d ",&i,&j,&k); //  i,j分别为区间起始点，k为该区间第k大的数。
72              printf( " %d\n ", query( 0,  1, n, i, j, k));
73         }
74     }
75      return  0;

76 }