尋找丑數

題目：我們把只包含因子2、3和5的數稱作丑數（Ugly Number）。例如6、8都是丑數，但14不是，因為它包含因子7。習慣上我們把1當做是第一個丑數。求按從小到大的順序的第1500個丑數。

分析：這是一道在網絡上廣為流傳的面試題，據說google曾經采用過這道題。

所謂一個數m是另一個數n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根據丑數的定義，丑數只能被2、3和5整除。也就是說如果一個數如果它能被2整除，我們把它連續除以2；如果能被3整除，就連續除以3；如果能被5整除，就除以連續5。如果最后我們得到的是1，那么這個數就是丑數，否則不是。

基於前面的分析，我們可以寫出如下的函數來判斷一個數是不是丑數：

bool IsUgly(int number) { while(number % 2 == 0) number /= 2; while(number % 3 == 0) number /= 3; while(number % 5 == 0) number /= 5; return (number == 1) ? true : false; } //接下來，我們只需要按順序判斷每一個整數是不是丑數，即： int GetUglyNumber_Solution1(int index) { if(index <= 0) return 0; int number = 0; int uglyFound = 0; while(uglyFound < index) { ++number; if(IsUgly(number)) { ++uglyFound; } } return number; }

我們只需要在函數GetUglyNumber_Solution1中傳入參數1500，就能得到第1500個丑數。該算法非常直觀，代碼也非常簡潔，但最大的問題我們每個整數都需要計算。即使一個數字不是丑數，我們還是需要對它做求余數和除法操作。因此該算法的時間效率不是很高。

接下來我們換一種思路來分析這個問題，試圖只計算丑數，而不在非丑數的整數上花費時間。根據丑數的定義，丑數應該是另一個丑數乘以2、3或者5的結果（1除外）。因此我們可以創建一個數組，里面的數字是排好序的丑數。里面的每一個丑數是前面的丑數乘以2、3或者5得到的。

這種思路的關鍵在於怎樣確保數組里面的丑數是排好序的。我們假設數組中已經有若干個丑數，排好序后存在數組中。我們把現有的最大丑數記做M。現在我們來生成下一個丑數，該丑數肯定是前面某一個丑數乘以2、3或者5的結果。我們首先考慮把已有的每個丑數乘以2。在乘以2的時候，能得到若干個結果小於或等於M的。由於我們是按照順序生成的，小於或者等於M肯定已經在數組中了，我們不需再次考慮；我們還會得到若干個大於M的結果，但我們只需要第一個大於M的結果，因為我們希望丑數是按從小到大順序生成的，其他更大的結果我們以后再說。我們把得到的第一個乘以2后大於M的結果，記為M₂。同樣我們把已有的每一個丑數乘以3和5，能得到第一個大於M的結果M₃和M₅。那么下一個丑數應該是M₂、M₃和M₅三個數的最小者。

前面我們分析的時候，提到把已有的每個丑數分別都乘以2、3和5，事實上是不需要的，因為已有的丑數是按順序存在數組中的。對乘以2而言，肯定存在某一個丑數T₂，排在它之前的每一個丑數乘以2得到的結果都會小於已有最大的丑數，在它之后的每一個丑數乘以2得到的結果都會太大。我們只需要記下這個丑數的位置，同時每次生成新的丑數的時候，去更新這個T₂。對乘以3和5而言，存在着同樣的T₃和T₅。

有了這些分析，我們不難寫出如下的代碼：

int GetUglyNumber_Solution2(int index) { if(index <= 0) return 0; int *pUglyNumbers = new int[index]; pUglyNumbers[0] = 1; int nextUglyIndex = 1; int *pMultiply2 = pUglyNumbers; int *pMultiply3 = pUglyNumbers; int *pMultiply5 = pUglyNumbers; while(nextUglyIndex < index) { int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5); pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min; while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply2; while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply3; while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply5; ++nextUglyIndex; } int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1]; delete[] pUglyNumbers; return ugly; } int Min(int number1, int number2, int number3) { int min = (number1 < number2) ? number1 : number2; min = (min < number3) ? min : number3; return min; }

和第一種思路相比，這種算法不需要在非丑數的整數上做任何計算，因此時間復雜度要低很多。感興趣的讀者可以分別統計兩個函數GetUglyNumber_Solution1(1500)和GetUglyNumber_Solution2(1500)的運行時間。當然我們也要指出，第二種算法由於要保存已經生成的丑數，因此需要一個數組，從而需要額外的內存。第一種算法是沒有這樣的內存開銷的。

       本文已經收錄到《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》一書中，有改動，書中的分析講解更加詳細。歡迎關注。

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