8.2-2 證明COUNTING-SORT是穩定的。
問題解答：
假設輸入數組A[1...n]，length[A]=n，數組A中有兩個元素具有相同的值，下標分別為a，b（1≤a<b≤n）即A[a] = A[b]。經過計數排序運行至行7，C[A[a]] = C[A[b]]。在第9~11行中循環部分中，循環變量 i 用於指示數組A的下標，其值從 length[A] 到 1 遞減遍歷。由b>a可知，A[b]優先插入數組B中。在循環執行體行10、行11中，每當將一個值A[i]放入數組B位置C[A[i]]時，都要使C[A[i]]的值減1。因此，A[b]首先插入數組輸出數組B中，且A[a]插入在A[b]的前一個位置上。
8.2-3 在COUNTING-SORT過程中，假設第9中for循環的首部改成改寫成如下形式
9
for j ← 1 to length[A]
證明該算法仍能正常的工作。修改后的算法是穩定的嗎？
問題解答：
在第9~11行中循環部分中，循環變量i用於指示輸入數組A的下標。循環首部的改變，僅改變數組A中元素遍歷次序，即數組A中元素插入數組B的次序，從
大下標優先插入變為
小下標優先插入。數組A中元素插入數組B的位置為C[A[i]]，只和元素的值有關，和元素的下標無關。所以修改后的算法仍然能正常的工作。
修改后的算法，數組A中元素插入數組B的次序是
小下標優先插入。如果有兩個元素有相同的值，即指向C中同一個元素，則較小下標的元素優先插入數組B中，然后使指向的C中元素減1，所以較大下標的元素插入到較小下標的元素的前面。算法是不穩定的。
8.3-2 下面的算法中那些是穩定的：插入排序，合並排序，堆排序和快速排序？給出一個能是任何排序算法都穩定的方法。給出的方法帶來的額外時空開銷是多少？
問題解答：
插入排序、合並排序均是穩定的；快速排序，堆排序不穩定。
先給每個元素增加一個域index，表示在輸入數組中的索引值。元素之間的比較，先比較元素的值，若值是相等的話，需進一步比較index。每個index可用
lg
n位大小的整數來表示，需額外的
Ω
(
n
lg
n
)空間。由於增加的額外的比較次數至多和原先的比較次數相同，時間復雜度並不變。（參考答案）
8.3-4說明如何在O(n)時間內，對0到n^2-1之間的n個整數進行排序。
問題解答：
引理8.3 給定n個d位數，每一個數位可以取k種可能的值。如果所用的穩定排序需要Θ(n+k)的時間，基數排序算法能以Θ(d(n+k))的時間正確地對這些數進行排序。
若采用n進制對0到n^2-1之間的數表示，需要2位數即可。由上述引理可得，基數排序的時間為Θ(d(n+k))=Θ(2(n+n)) =Θ(n) (參考答案)
8.4-2 桶排序的最壞情況運行時間是什么？如果要在保持其線性運行時間的同時，使最壞情況時間為O(nlgn)，要對算法做什么樣的修改？
問題解答：
最壞情況下，即所有的輸入元素均落入一個桶內，桶排序就退化為一個插入排序。而插入排序的最壞情況時間代價為Θ(n^2)。如果要在保持其線性運行時間的同時，使最壞情況時間為O(nlgn)，對桶內元素排序方法更換為最壞情況為O(nlgn)的合並排序。
8.4-3在單位圓內有n個點，pi=(xi, yi)，使得0<xi^2 + yi^2 ≤1, i = 1,2,....,n。假設所有點是均勻分布的，亦即，某點落在圓的任一區域中的概率與該區域的面積成正比。請設計一個Θ(n)期望的算法，來根據點到原點的距離di=sqrt(xi^2 + yi^2)對n個點排序。
問題解答：
桶排序是把區間[0,1)區間划分成n個大小相同的子區間（即桶），且要求輸入元素等可能落在任何桶中。按照桶排序的思想，把單位圓划分成n個等面積的同心環即可。
設：輸入元素有兩個域x，y，分別表示橫坐標和縱坐標。元素之間的大小比較是通過比較di=sqrt(xi^2 + yi^2)來判斷的。
算法偽代碼：
BUCKET-SORT'(A)
n ← length(A)
for i ←1 to n
do index ← floor( n( A[i].x^2 + A[i].y^2 ) )
insert A[i] into B[index]
for i ←1 to n
do sort list B[i] with insertion sort
concatenate the list B[0], B[1], ..., B[n-1] together in order
思考題
8-2
以線性時間原地排序
假設有一個有n個數據記錄組成的數組要排序，且每個記錄的關鍵字的值為0或1。排序這樣一組記錄的一個算法應具備如下三個特性中的一部分。
1）算法的運行時間為O(n)。
2）算法是穩定的。
3）算法是原地排序的，它可以使用除輸入數組以外的固定量的存儲空間。
a）給出一個滿足上述條件1和條件2的算法。
b）給出一個滿足上述條件1和條件3的算法。
c）給出一個滿足上述條件2和條件3的算法。
d）在a）~c）中給出的算法能否用來在O(bn)時間內排序，對有b位關鍵字的n個記錄進行基數排序？如果行，說明如何做；如果不行，說明原因。
e）假設一個n個記錄中每個的關鍵字都介於1到k之間。說明如何修改計數排序，使得可以在O(n+k)時間內對n個記錄原地排序。除輸入數組外，可另用O(k)的存儲空間。你給出算法是穩定的嗎？（提示：當k=3時應該如何做）
問題解答：
a）使用計數排序即可滿足要求。
b）由於記錄的關鍵字的值只有兩種情況（0或1），可使用類似快速排序中PARTITION將數組划分為兩個區域，一區域只含關鍵字值均為0，另一區域關鍵字均為1。
具體算法為：
PARTITON-SORT(A)
n ← lenght[A]
i ← 1
while A[i] = 0 and i ≤ n
do i ← i + 1
p← i
i ← i - 1
for j ← p to n
do if A[j] = 0
then i ← i + 1
exchange A[i] ↔ A[j]
c） 使用插入排序或合並排序即可滿足要求
d）
a）算法可以，對數組元素的每一位的排序都采用計數排序即可。
b）算法不可以，是由於快速排序算法的數組分割是不穩定的。
c）算法也不可以，是由於插入排序和合並排序的最壞運行時間為O(n^2)。
e） 說明暫時不會