面試題11：數值的整數次方

題目：實現函數double Power(double base,int exponent)，求base的exponent次方。不得使用庫函數，同時不需要考慮大樹問題。

這道題目有以下幾點需要注意：

1. 0的0次方是無意義的，非法輸入
2. 0的負數次方相當於0作為除數，也是無意義的，非法輸入
3. base如果非0，如果指數exponent小於0，可以先求base的|exponent|次方，然后再求倒數
4. 判斷double類型的base是否等於0不能使用==號。因為計算機表述小樹(包括float和double型小數)都有誤差，不能直接使用等號(==)判斷兩個小數是否相等。如果兩個數的差的絕對值很小，那么可以認為兩個double類型的數相等。

根據以上4個注意點，我們可以寫出求指數的程序，代碼如下：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

bool isInvalidInput=false;

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    double result=1.0;
    for(int i=0;i<absExp;i++)
        result*=base;
    return result;
}

//由於精度原因，double類型的變量不能用等號判斷兩個數是否相等，因此需要寫equsl函數
bool equal(double a,double b)
{
    if((a-b>-0.000001)&&(a-b<0.000001))
        return true;
    else
        return false;
}

double Power(double base,int exponent)
{
    //如果底數為0且指數小於0，則表明是非法輸入。
    if(equal(base,0.0) && exponent<=0)
    {
        isInvalidInput=true;
        return 0;
    }

    unsigned int absExp;
    //判斷指數正負，去指數的絕對值
    if(exponent<0)
        absExp=(unsigned int)(-exponent);
    else
        absExp=(unsigned int)exponent;

    double result=PowerWithUnsingedExponent(base,absExp);

    //如果指數小於0則取倒數
    if(exponent<0)
        result=1/result;

    return result;
}

void main()
{
    double a=Power(2.0,13);
    cout<<a<<endl;

    system("pause");
}

更優的解法：

假設我們求2^32，指數是32，那么我們需要進行32次循環的乘法。但是我們在求出2^16以后，只需要在它的基礎上再平方一次就可以求出結果。同理可以繼續分解2^16。也就是a^n=a^(n/2)*a^(n/2)，(n為偶數)；或者a^n=a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2)*a，(n為奇數)。這樣就將問題的規模大大縮小，從原來的時間復雜度O(n)降到現在的時間復雜度O(logn)。可以用遞歸實現這個思路，代碼如下:

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    if(absExp==0)
        return 1;
    else if(absExp==1)
        return base;

    double result=PowerWithUnsingedExponent(base,absExp/2);
    result*=result;//指數減少一倍以后用底數來乘
    if(absExp%2==1)//如果指數為奇數，還得再乘一次底數
        result*=base;
    return result;
}

 上述程序使用了遞歸的方法，這樣會增加程序的空間復雜度，下面我們使用循環實現遞歸的思路，代碼如下：

以下方法錯誤：

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    if(absExp==0)
        return 1;
    else if(absExp==1)
        return base;

    double result=1.0*base;
    for(int i=2;i<=absExp;i=i*2)
        result*=result;
    if(absExp%2==1)//如果指數為奇數，還得再乘一次底數
        result*=base;
    
    return result;
}