SVM(四） 支撐向量機，二次規划問題

SMO優化算法（Sequential minimal optimization）

SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，並成為最快的二次規划優化算法，特別針對線性SVM和數據稀疏時性能更優。關於SMO最好的資料就是他本人寫的《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》了。

我拜讀了一下，下面先說講義上對此方法的總結。

首先回到我們前面一直懸而未解的問題，對偶函數最后的優化問題：

要解決的是在參數上求最大值W的問題，至於和都是已知數。C由我們預先設定，也是已知數。

按照坐標上升的思路，我們首先固定除以外的所有參數，然后在上求極值。等一下，這個思路有問題，因為如果固定以外的所有參數，那么將不再是變量（可以由其他值推出），因為問題中規定了

因此，我們需要一次選取兩個參數做優化，比如和，此時可以由和其他參數表示出來。這樣回帶到W中，W就只是關於的函數了，可解。

這樣，SMO的主要步驟如下：

意思是，第一步選取一對和，選取方法使用啟發式方法（后面講）。第二步，固定除和之外的其他參數，確定W極值條件下的，由表示。

SMO之所以高效就是因為在固定其他參數后，對一個參數優化過程很高效。

下面討論具體方法：

假設我們選取了初始值滿足了問題中的約束條件。接下來，我們固定，這樣W就是和的函數。並且和滿足條件：

由於都是已知固定值，因此為了方面，可將等式右邊標記成實數值。

當和異號時，也就是一個為1，一個為-1時，他們可以表示成一條直線，斜率為1。如下圖：

橫軸是，縱軸是，和既要在矩形方框內，也要在直線上，因此

，

同理，當和同號時，

，

然后我們打算將用表示：

然后反代入W中，得

展開后W可以表示成。其中a,b,c是固定值。這樣，通過對W進行求導可以得到，然而要保證滿足，我們使用表示求導求出來的，然而最后的，要根據下面情況得到：

這樣得到后，我們可以得到的新值。

下面進入Platt的文章，來找到啟發式搜索的方法和求b值的公式。

這邊文章使用的符號表示有點不太一樣，不過實質是一樣的，先來熟悉一下文章中符號的表示。

文章中定義特征到結果的輸出函數為

與我們之前的實質是一致的。

原始的優化問題為：

求導得到：

經過對偶后為：

s.t. 

這里與W函數是一樣的，只是符號求反后，變成求最小值了。和是一樣的，都表示第i個樣本的輸出結果（1或-1）。

經過加入松弛變量后，模型修改為：

由公式（7）代入（1）中可知，

這個過程和之前對偶過程一樣。

重新整理我們要求的問題為：

與之對應的KKT條件為：

這個KKT條件說明，在兩條間隔線外面的點，對應前面的系數為0，在兩條間隔線里面的對應為C，在兩條間隔線上的對應的系數在0和C之間。

將我們之前得到L和H重新拿過來：

之前我們將問題進行到這里，然后說將用表示后代入W中，這里將代入中，得

其中

這里的和代表某次迭代前的原始值，因此是常數，而和是變量，待求。公式（24）中的最后一項是常數。

由於和滿足以下公式

因為的值是固定值，在迭代前后不會變。

那么用s表示，上式兩邊乘以時，變為：

其中

代入（24）中，得

這時候只有是變量了，求導

如果的二階導數大於0（凹函數），那么一階導數為0時，就是極小值了。

假設其二階導數為0（一般成立），那么上式化簡為：

將w和v代入后，繼續化簡推導，得（推導了六七行推出來了）

我們使用來表示：

通常情況下目標函數是正定的，也就是說，能夠在直線約束方向上求得最小值，並且。

那么我們在（30）兩邊都除以可以得到

這里我們使用表示優化后的值，是迭代前的值，。

與之前提到的一樣不是最終迭代后的值，需要進行約束：

那么

在特殊情況下，可能不為正，如果核函數K不滿足Mercer定理，那么目標函數可能變得非正定，可能出現負值。即使K是有效的核函數，如果訓練樣本中出現相同的特征x，那么仍有可能為0。SMO算法在不為正值的情況下仍有效。為保證有效性，我們可以推導出就是的二階導數，，沒有極小值，最小值在邊緣處取到（類比），時更是單調函數了，最小值也在邊緣處取得，而的邊緣就是L和H。這樣將和分別代入中即可求得的最小值，相應的還是也可以知道了。具體計算公式如下：

至此，迭代關系式出了b的推導式以外，都已經推出。

b每一步都要更新，因為前面的KKT條件指出了和的關系，而和b有關，在每一步計算出后，根據KKT條件來調整b。

b的更新有幾種情況：

來自羅林開的ppt

這里的界內指，界上就是等於0或者C了。

前面兩個的公式推導可以根據

和對於有的KKT條件推出。

這樣全部參數的更新公式都已經介紹完畢，附加一點，如果使用的是線性核函數，我們就可以繼續使用w了，這樣不用掃描整個樣本庫來作內積了。

w值的更新方法為：

根據前面的

公式推導出。

12 SMO中拉格朗日乘子的啟發式選擇方法

終於到了最后一個問題了，所謂的啟發式選擇方法主要思想是每次選擇拉格朗日乘子的時候，優先選擇樣本前面系數的作優化（論文中稱為無界樣例），因為在界上（為0或C）的樣例對應的系數一般不會更改。

這條啟發式搜索方法是選擇第一個拉格朗日乘子用的，比如前面的。那么這樣選擇的話，是否最后會收斂。可幸的是Osuna定理告訴我們只要選擇出來的兩個中有一個違背了KKT條件，那么目標函數在一步迭代后值會減小。違背KKT條件不代表，在界上也有可能會違背。是的，因此在給定初始值=0后，先對所有樣例進行循環，循環中碰到違背KKT條件的（不管界上還是界內）都進行迭代更新。等這輪過后，如果沒有收斂，第二輪就只針對的樣例進行迭代更新。

在第一個乘子選擇后，第二個乘子也使用啟發式方法選擇，第二個乘子的迭代步長大致正比於，選擇第二個乘子能夠最大化。即當為正時選擇負的絕對值最大的，反之，選擇正值最大的。

最后的收斂條件是在界內（）的樣例都能夠遵循KKT條件，且其對應的只在極小的范圍內變動。

至於如何寫具體的程序，請參考John C. Platt在論文中給出的偽代碼。

13 總結

這份SVM的講義重點概括了SVM的基本概念和基本推導，中規中矩卻又讓人醍醐灌頂。起初讓我最頭疼的是拉格朗日對偶和SMO，后來逐漸明白拉格朗日對偶的重要作用是將w的計算提前並消除w，使得優化函數變為拉格朗日乘子的單一參數優化問題。而SMO里面迭代公式的推導也着實讓我花費了不少時間。

對比這么復雜的推導過程，SVM的思想確實那么簡單。它不再像logistic回歸一樣企圖去擬合樣本點（中間加了一層sigmoid函數變換），而是就在樣本中去找分隔線，為了評判哪條分界線更好，引入了幾何間隔最大化的目標。

之后所有的推導都是去解決目標函數的最優化上了。在解決最優化的過程中，發現了w可以由特征向量內積來表示，進而發現了核函數，僅需要調整核函數就可以將特征進行低維到高維的變換，在低維上進行計算，實質結果表現在高維上。由於並不是所有的樣本都可分，為了保證SVM的通用性，進行了軟間隔的處理，導致的結果就是將優化問題變得更加復雜，然而驚奇的是松弛變量沒有出現在最后的目標函數中。最后的優化求解問題，也被拉格朗日對偶和SMO算法化解，使SVM趨向於完美。

另外，其他很多議題如SVM背后的學習理論、參數選擇問題、二值分類到多值分類等等還沒有涉及到，以后有時間再學吧。其實朴素貝葉斯在分類二值分類問題時，如果使用對數比，那么也算作線性分類器。