排序算法——堆排序

前一陣子一直在寫排序的系列文章，最近因為一些事情耽擱了幾天，也穿插了幾篇其他類別的隨筆。今天還是回到排序上面來，善始善終，呵呵。
今天要介紹的也是一種效率很高的排序——堆排序
思想
堆排序，顧名思義，就是基於堆。因此先來介紹一下堆的概念。
堆分為最大堆和最小堆，其實就是完全二叉樹。最大堆要求節點的元素都要大於其孩子，最小堆要求節點元素都小於其左右孩子，兩者對左右孩子的大小關系不做任何要求，其實很好理解。有了上面的定義，我們可以得知，處於最大堆的根節點的元素一定是這個堆中的最大值。其實我們的堆排序算法就是抓住了堆的這一特點，每次都取堆頂的元素，將其放在序列最后面，然后將剩余的元素重新調整為最大堆，依次類推，最終得到排序的序列。
或者說，堆排序將所有的待排序數據分為兩部分，無序區和有序區。無序區也就是前面的最大堆數據，有序區是每次將堆頂元素放到最后排列而成的序列。每一次堆排序過程都是有序區元素個數增加，無序區元素個數減少的過程。當無序區元素個數為1時，堆排序就完成了。
本質上講，堆排序是一種選擇排序，每次都選擇堆中最大的元素進行排序。只不過堆排序選擇元素的方法更為先進，時間復雜度更低，效率更高。
圖例說明一下：（圖片來自http://www.cnblogs.com/zabery/archive/2011/07/26/2117103.html）

具體步驟如下：

　　1 首先從第一個非葉子節點開始，比較當前節點和其孩子節點，將最大的元素放在當前節點，交換當前節點和最大節點元素。

　　2 將當前元素前面所有的元素都進行1的過程，這樣就生成了最大堆

　　3 將堆頂元素和最后一個元素交換，列表長度減1。由此無序區減1，有序區加1

　　4 剩余元素重新調整建堆

　　5 繼續3和4，直到所有元素都完成排序

代碼

int adjust_heap(vector<int> &v, int length, int i){
        int left = 2 * i;
        int right = 2 * i + 1;
        int largest = i;
        int temp;

        while(left < length || right < length){
                if (left < length && v[largest] < v[left]){
                        largest = left;
                }
                if (right < length && v[largest] < v[right]){
                        largest = right;
                }

                if (i != largest){
                        temp = v[largest];
                        v[largest] = v[i];
                        v[i] = temp;
                        i = largest;
                        left = 2 * i;
                        right = 2 * i + 1;
                }
                else{
                        break;
                }
        }
}

int build_heap(vector<int> &v, int length){
        int i;
        int begin = length/2 - 1; //get the last parent node
        for (i = begin; i>=0; i--){
                adjust_heap(v,length,i);
        }
}

int heap_sort(vector<int> &v){
        int length = v.size();
        int temp;
        printline("before sort:",v);
        build_heap(v,length);
        while(length > 1){
                temp = v[length-1];
                v[length-1] = v[0];
                v[0] = temp;
                length--;
                adjust_heap(v,length,0);
        }
        printline("after sort:",v);
}

分析
堆排序的平均時間復雜度為O(nlogn),接近於最壞的時間復雜度。在最好情況下，時間復雜度為O(1).