來自http://www.cnblogs.com/oa414/archive/2011/07/21/2113234.html的啟發，
看上述博客如何求第k大的數時，被其第二份代碼影響，感覺很巧妙，於是研究了一下，搞懂后頓時神清氣爽啊。。。
還是看這張經典的圖吧，知識在圖上就變得形象多了
現在假設要求sum[a]的值，一般我們都是從后往前求和，如a=15
15-lowbit(15)=14;
14-lowbit(14)=12;
12-lowbit(12)=8;
8-lowbit(b)=0;
答案就是sum[15]+sum[14]+sum[12]+sum[8];
現在我們可以這樣來求，從不超過15的只有一個1的最大二進制數開始，也可以理解為指數從log(15)取整開始，即3,2的3次等於8，依次加上2的2次，2的1次，2的0次，數字依次為8,12,14，15，也就是把普通的求和過程反向。
好了，方向求和有什么好處呢？
在求第k大的數的時候就派上用場了，雖然還有很多其他方法可以解決第k大的數，但樹狀數組無疑是最優雅的方法了
下面就以poj 2418這一題來簡單說一下怎么求第k大的數
由於樹狀數組記錄的是比當前元素小的數的個數，所以可以先把求第k大的數轉換為求第num-k+1小的數，num是總的數的個數
int find_kth(int k)//太神奇了(大概是以前沒有完全領會)，log(n)復雜度
{
int ans = 0, cnt = 0, i;
for (i = 20; i >= 0; i--)//利用二進制的思想，把答案用一個二進制數來表示
{
ans += (1 << i);
if (ans >= maxn|| cnt + c[ans] >= k)
//這里大於等於k的原因是可能會有很多個數都滿足cnt + c[ans] >= k，所以找的是最大的滿足cnt+c[ans]<k的ans
ans -= (1 << i);
else
cnt += c[ans];//cnt用來累加比當前ans小的總組數
}//求出的ans是累加和（即小於等於ans的數的個數）小於k的情況下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的數
return ans + 1;
}
完整代碼即詳細注釋
View Code
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 300000
int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值為i的數有i個
int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);}
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void update(int x,int d){
for(;x<=maxn;x+=lowbit(x))
c[x]+=d;
}//因為是從左往右手動求和了，所以也不需要sum()操作了
int find_kth(int k)//太神奇了(大概是以前沒有完全領會)，log(n)復雜度
{
int ans = 0, cnt = 0, i;
for (i = 20; i >= 0; i--)//利用二進制的思想，把答案用一個二進制數來表示
{
ans += (1 << i);
if (ans >= maxn|| cnt + c[ans] >= k)
//這里大於等於k的原因是可能大小為ans的數不在c[ans]的控制范圍之內，所以這里求的是 < k
ans -= (1 << i);
else
cnt += c[ans];//cnt用來累加比當前ans小的總組數
}//求出的ans是累加和（即小於等於ans的數的個數）小於k的情況下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的數
return ans + 1;
}
/*
因為要求第k小的數，所以要從左往右加過去，
上述過程其實就是把樹狀數組的求和操作逆向，從左往右求和，
邊求和邊判斷控制范圍內比當前值要小的數是否超過或等於k,如果是則跳回兄弟節點(ans-=(1<<i))
如8+4=12，假如12不滿足要求，則重新變回8，下一次就加2,8+2=10，即跳到10控制的位置
上述累加過程不會重復計算，因為
比如15=8+4+2+1，數字依次為8 12 14 15，每次累加后的值都與前面的值無關，i小於其二進制末尾0的個數
即c[8] 、c[12] 、c[14]、 c[15]相加的話不會重復計算，再如11=8+2+1;數字依次為8 10 11，c[8],c[10],c[11]
各自控制着自己的范圍，不會重復累加，所以就可以用cnt來累加前面的結果，最后cnt+c[ans]就表示了值<=ans的個數
簡言之：上述的各個數字兩兩間控制的范圍不會相交
*/
int main()
{
int i,n,m,q,x,y,k,l,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1;
update(1,n);//初始狀態值為1的數有n個
int num=n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
if(q==0)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) continue;
update(a[x],-1);
update(a[y],-1);
update(a[x]+a[y],1);
p[y]=x;
a[x]+=a[y];
num--;//合並集合
}
else
{
scanf("%d",&k);
k=num-k+1;//轉換為找第k小的數
printf("%d\n",find_kth(k));
}
}
return 0;
}
二分做法
View Code
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 300000
int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值為i的數有i個
int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);}
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void update(int x,int d){
for(;x<=maxn;x+=lowbit(x))
c[x]+=d;
}
int sum(int x){
int ans=0;
for(;x>0;x-=lowbit(x))
ans+=c[x];
return ans;
}
int main()
{
int i,n,m,q,x,y,k,l,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1;
update(1,n);//初始狀態值為1的數有n個
int num=n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
if(q==0)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) continue;
update(a[x],-1);
update(a[y],-1);
update(a[x]+a[y],1);
p[y]=x;
a[x]+=a[y];
num--;//合並集合
}
else
{
scanf("%d",&k);
k=num-k+1;//轉換為找第k小的數
l=1;
r=n;
while(l <= r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(sum(mid) >= k) r=mid-1;//盡量往左逼近
else l=mid+1;
}
printf("%d\n",l);
}
}
return 0;
}
好像還可以用平衡樹，線段樹等來做，改天再補上
treap寫法：比樹狀數組還快
View Code
#include<cstdio> #include<set> #include<cstdlib> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 300010; #define L ch[rt][0] #define R ch[rt][1] int ch[maxn][2], aux[maxn] , num[maxn] , size[maxn] , cnt[maxn]; int val[maxn]; int tot,rt; inline void init(){ size[0]=0; rt = tot = 0; ch[0][0] = ch[0][1] = 0; aux[0] = 0; } inline void pushup(int rt){ size[rt]=cnt[rt]+size[L]+size[R]; } inline void Rotate(int &rt,int f){//f=1:右旋 f=0：左旋 int t = ch[rt][!f]; ch[rt][!f] = ch[t][f]; ch[t][f] = rt; pushup(rt);pushup(t); rt = t; } void insert(int &rt,int key){ if(!rt) { rt = ++tot; val[rt] = key; L = R = 0; size[rt]=cnt[rt]=1; aux[rt] = ( rand() << 14 ) + rand(); return ; } if(key==val[rt]) { ++cnt[rt]; }else if(key < val[rt]){ insert(L , key); if( aux[L] < aux[rt] ) Rotate(rt,1); }else { insert(R , key); if( aux[R] < aux[rt] ) Rotate(rt,0); } pushup(rt); } void treap_delete(int &rt){//real deletion if(!L || !R){ rt=L?L:R; }else { if(aux[L] < aux[R]){ Rotate(rt,1); treap_delete(R); }else { Rotate(rt,0); treap_delete(L); } } } void del(int &rt , int key){//lazy deletion if(key == val[rt]) { cnt[rt]--; size[rt]--; if(cnt[rt]==0) treap_delete(rt); } else { if(key < val[rt]) del(L,key); else del(R,key); size[rt]--; } } int find(int rt,int key){ if(!rt) return 0; else if(key < val[rt]) return find(L,key); else if(key > val[rt]) return find(R,key); else return cnt[rt]; } //找后繼結點 void succ(int rt,int key,int &ans){//找>=key的第一個結點，即后繼結點 if(!rt) return ; if(val[rt] >= key){ ans=val[rt]; succ(L,key,ans); }else succ(R,key,ans); } //找前驅結點 void pre(int rt,int key,int &ans){ if(!rt) return ; if(val[rt]<=key) { ans=val[rt]; succ(R,key,ans); }else succ(L,key,ans); } int getmin(int rt){ while(L) rt=L; return val[rt]; } int getmax(int rt){ while(R) rt=R; return val[rt]; } //找第k小的數 int find_kth(int rt,int k){ if(k<size[L]+1) return find_kth(L,k); else if(k>size[L]+cnt[rt]) return find_kth(R,k-size[L]-cnt[rt]); else return val[rt]; } //確定key的排名 int treap_rank(int rt,int key,int cur){//cur:當前已知比要求元素（key）小的數的個數 if(key == val[rt]) return size[L] + cur + 1; else if(key < val[rt]) treap_rank(L,key,cur); else treap_rank(R,key,cur+size[L]+cnt[rt]); } int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值為i的數有i個 int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);} int main() { init(); int i,n,m,q,x,y,k,l,r; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i; for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1; for(int i=1;i<=n;i++) insert(rt,1); int num=n; for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&q); if(q==0) { scanf("%d%d",&x,&y); x=find(x); y=find(y); if(x==y) continue; del(rt,a[x]); del(rt,a[y]); insert(rt,a[x]+a[y]); p[y]=x; a[x]+=a[y]; num--;//合並集合 } else { scanf("%d",&k); k=num-k+1;//轉換為找第k小的數 printf("%d\n",find_kth(rt,k)); } } return 0; }