六、函数单调性与凹凸性 1、函数的单调性与极值 1.1 单调性 ∀x1，x2∈I，若x1<x2时，f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称f(x)在I内单调增(单调减)。若x1≤x2时，f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2))，则称f(x)在I ...

前言 关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是通过解不等式[从数的角度]求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导： 思考方法和途径 ...

1 梯度法 就是直接对目标函数进行计算，然后判断其是否凸。具体地，就是计算目标函数的一阶导数和二阶导数。然后作出判断。 凸函数的一阶充要条件 等号右边是对函数在x点的一阶近似。这个条件的意义是，对于函数在定义域的任意取值，函数的值都大于或者等于对函数在这点的一阶近似。用图来说 ...

前言 关联知识 本质：利用\(f'(x)\)的正负，判断\(f(x)\)的增减； 符号法则 典例剖析 给定\(f'(x)\)的图像，确定\(f(x)\)的单调性，最简单层次 例1 用图像 ...

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凹凸性 拐点 凸弧与凹弧的分界点 拐点在曲线上，写作 (x0, f(x0)) 极值点在定义域上，写作 x0 判别凹凸性 二阶可导点是拐点的必要条件 判别凹凸性的第一充分条件（左右邻域二阶导异号） x0的某去心邻域内，二阶导数存在，在该点处二阶导 ...

前言 函数的单调性是很重要的性质之一，那么我们到底需要研究什么？ 相关概念：函数在区间上增加(减少)；单调区间，单调性，增函数，减函数，单调函数； 单调性的给出方式[其实质也是单调性的判断方法]； 单调性[单调区间]的判断，难点是抽象函数与复合函数的单调性判断 ...

决策单调性 单调队列和斜率优化是属于决策单调性的一种。而决策单调性是满足四边形不等式的前提下，满足i+1-n的转移点大于等于i的决策点。而基本实现方式是整体二分或者维护双端队列并且在双端队列上二分查找。 1.基于1D/1D的DP优化 一般来说，1D/1D的DP都能通过优化，在$O(nlogn ...