前言 【MIT公开课】多重变量微积分 p17学习笔记（二重积分） 极坐标基础 元 半径 $r$ 和角度 $\theta$. $\left \{\begin{matrix}x = r \cos\theta \\y = r \sin\theta\end{matrix} \right. ...

　　二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。 　　本篇涉及到的单变量积分的知识可参考《数学笔记13 ...

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　　二重积分的几何意义是计算物体的体积，但是在实际问题中，二重积分还可以用来计算面积和均值。 计算面积 　　计算面积容易联想到单变量积分的几何意义，但通常这是用二重积分来完成的。 　　给出一个平面上的区域R，求R的面积。如果使用一元积分计算，会发现这并不容易，因为一元积分的几何意义是曲线 ...

很早以前总结了一些常见图形的θ和r的范围确定，今日做题有所回顾，故也分享出来。 原点在积分区域内，θ---0到2π 原点在边界，从区域边界，θ---逆时针方向，到另一边止 原点在边界外，从区域靠极轴边界，θ---逆时针方向，到另一边止 r取值通常将x、y的极坐标表达式代入原方程 ...

　　直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料的简洁，也能让问题直观和清晰起来。 极坐标 什么是极坐标 　　概念来自百度百科： 　　在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选 ...

设函数 $z = f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，将 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta \sigma _{i},i=1,2,3,...,n$，$\Delta \sig ...

三重积分 　　三重积分由平面转到了空间，但本质上与二重积分一致。f(x,y,z)是空间函数，对应的三重积分是： 　　其中R区域是f在定义域范围内的图形的体积，dv是体积积元。在二重积分中，面积积元dA = dydx，三重积分的体积积元dv = dzdydx。 　　考虑计算两个曲面z ...