因数，也称为约数（英语：Divisor）是一个常见的数学名词，用于描述自然数 \(a\) 和自然数 \(b\) 之间存在的整除关系，即 \(b\)可以被\(a\) 整除。这里我们称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 是 \(b\) 的因数或因子。
试除法求约数
试除法的思路很简单和求质数一样，求一个数\(n\)的所有约束，可以枚举从 \(1 \sim n\) 的所有数，把它记录下来。这里有一个优化，如果 \(d|n\) 那么 \(\frac{n}{d} | n\) ，所以约束也是成对出现的，只要枚举 \(\frac{n} {d}\) 和 \(d\) 之中较小的那个即可。只需要使 \(d <= \frac{n} {d}\) 即只需要枚举到 \(d <= \sqrt{n}\)。
【问题描述】
给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，对于每个整数 \(a_i\)，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
【输入格式】
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(i\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。
【输出格式】
输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 的所有约数。
【输入样例】
2
6
8
【输出样例】
1 2 3 6
1 2 4 8
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> div(int n) {
vector<int> ans;
for (int i = 1; i <= n / i; i ++) {
if (n % i == 0) {
ans.push_back(i);
if (i != n / i) ans.push_back(n / i); // 注意边界情况，有可能出现 n/i == i的情况导致重复加入数值
}
}
sort(ans.begin(), ans.end());
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n --) {
int x; cin >> x;
auto ans = div(x);
for (auto t : ans) cout << t << ' ';
cout << endl;
}
return 0;
}
约数的个数
自然数 N 的因数个数以 \(d(n)\) 表示。若 \(N\) 唯一分解为
\({\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}\),
则 \({\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}\)
例如 \(2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}\)，则其正因数个数 \(d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24\)。
【问题描述】
给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。
【输入格式】
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(i\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。
【输出格式】
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。
【输入样例】
3
2
6
8
【输出样例】
12
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
map<int, int> p;
int main()
{
int n, x;
cin >> n;
while (n --) {
cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
if (x % i == 0) {
while (x % i == 0) x /= i, p[i] ++;
}
}
if (x > 1) p[x] ++;
}
ll ans = 1;
for (auto t : p) ans = ans * (t.second + 1) % mod; // define的时候mod不是整型，是double不能取模，const int mod = 1e9 + 7比较保险。
cout << ans;
return 0;
}
给定任意一个数\(n\)，求其约数的个数。上题相当于求 \(96\) 的约数的个数。
约数之和
自然数 \(N\) 的正因数和，以因数函数 \({\displaystyle \sigma (N)}\)表示。由质因数分解而得。
若 \(N\) 唯一分解为 \({\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}\), 则 \({\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}\)
再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：
\({\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}\)
例如\({\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}\)，则其正因数之和
\({\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}\)
【问题描述】
给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。
【输入格式】
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(i\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。
【输出格式】
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。
【输入样例】
3
2
6
8
【输出样例】
252
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
int n;
map<int, int> p;
cin >> n;
while (n --) {
int x; cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
if (x % i == 0) {
while (x % i == 0) x /= i, p[i] ++;
}
}
if (x > 1) p[x] ++;
}
ll ans = 1;
for (auto t : p) {
int a = t.first, b = t.second;
ll k = 1;
while (b --) k = (k * a + 1) % mod;
ans = ans * k % mod;
}
cout << ans;
return 0;
}
代码前半部分与之前几乎一样，后半部分很像秦九韶算法，主要是用于计算等比数列和。
例如 \(1+3+3^2+3^3\) 可以写成 \(3(3(3+1)+1)+1\) ，CPU计算加法比乘法快，可以算的快一点也可以采用快速幂计算等比数列前\(n\)项和
最大公约数
求最大公约数一般采用欧几里得算法，欧几里得算法的核心其实是\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)下面进行证明
-
对\(a\ mod \ b\)进行变换
\[\begin{align*} a\ mod\ b &= a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\\ &=a - c\times b \end{align*} \] -
证明对于\(a\)和\(b\)的任意公约数\(k\)，都是\(b\)和\(a\ mod\ b\)的公约数
是\(b\)的公约数，同时也是\(a-c\times b\) 的公约数 -
证明对于\(b\)和\(a\ mod\ b\)的任意公约数\(m\)，都是\(a\)和\(b\)的公约数
即证明\(m\)是\(a\)的公约数，\(m\)可以整除\(a\ mod\ b\)，则\(m\)可以整除\(a-c\times b\)所以\(m\)可以整除\(a\)
综上所述，集合\(cd(a, b)\)等于集合\(cd(b, a\ mod\ b)\)，则\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)，该过程的实现如下
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
顺便一提，最小公倍数的求法\(lcm(a, b) = \frac{a\times b} {gcd(a, b)}\)
int lcm(a, b) {
return a / gcd(a, b) * b; // 不要写成a*b/gcd(a, b)可能会溢出，先除会让数小一些
}