from:千杯湖底沙.
一些定义
事件发生的概率
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在一个特定的环境下，\(A\)、\(B\)等代表可能发生的所有单个事件，\(S\)代表所有可能发生的单个事件的集合。所以有\(A \in S , B \in S\)。
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如果有一个集合\(C\)，满足\(C \cap S = \emptyset\)，我们就说\(C\)是不可能事件。如果有一个集合\(D\)，满足\(D=S\)，就说\(D\)是必然事件。因为不管\(S\)中的事件发生多少次，\(C\)都不可能发生，\(D\)都一定发生。
事件的和积事件
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事件\(A \cup B\)称为事件\(A\)和事件\(B\)的和事件，如果\(A\)和\(B\)至少任意发生一个，我们就说事件\(A \cup B\)发生。(也可记作\(A + B\))
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事件\(A \cap B\)成为事件\(A\)和事件\(B\)的积事件，如果\(A\)和\(B\)至少同时发生一个，我们就说事件\(A \cap B\)发生。(也可记作\(A \times B\))
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当有多个事件的时候我们可以用\(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\)和\(\bigcap_{k=1}^{n}A_k\)
互斥和互补
- 如果\(A \cap B = \emptyset\)，称事件\(A\)和事件\(B\)互质，指\(A\)和\(B\)不能同时发生。
- 如果\(A \cup B =S\)，且\(A \cap B = \emptyset\)，称事件\(A\)和事件\(B\)互为对立事件(补集)。
频率和概率
- 频率：在相同的条件下，进行了\(n\)次实验，在\(n\)次实验中，事件A发生了\(N_A/n\)次，那么\(N_A/n\)称为事件\(A\)发生的频率(\(n\)是频数)
- 我们可以发现，当\(n=\infty\)，对于相同事件，频率无限接近概率
概率的性质
我们设事件\(A\)发生的概率是\(P(A)\)。那么有：
显然的性质
- 非负性：对于任意事件\(A\)，都有\(0 \le P(A) \le 1\)
- 规范性：对于每个必然事件\(A\)，\(P(A)=1\)；每个不可能事件\(A\)，\(P(A)=0\)
- 互斥性：对于任意两个事件\(A\)和\(B\)，\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
- 互斥事件的可加性：如果事件\(A\)和\(B\)是互斥的，那么\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
- 对立事件的概率之和\(=1\)
- 独立事件的可乘性：如果事件\(A\)和\(B\)之间是相互不干扰的，我们就说\(A\)和\(B\)是相互独立的事件，那么就有\(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)
不显然的性质
- 伯努利大数定理：如果在一次实验中，某事件发生的概率是\(p\)，不发生的概率是\(q\)，则在\(n\)次试验中至少发生\(m\)次的概率等于\((p+q)^n\)的 展开式 中从\(p^n\)到包括\(p^mq^{n−m}\)为止的各项之和。 如果在一次实验中，某事件发生的概率为\(p\)，那么在\(n\)次独立重复的试验中这个事件恰好发生\(k\)次\(0 \le k \le n\)的概率是\(P_n(k)=C^n_k \times p^k \times (1−p)^{n−k}\)
例题
yty找文件
yty有一张书桌，有8个抽屉，分别用数字1~8编号。每次拿到一个文件后，他都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但是，可怜的yty非常粗心，有\(\frac{1}{5}\)的概率会忘了把这个文件放进抽屉，最终因为没有放进抽屉而把文件弄丢。现在，yty要找一个文件，他按照编号顺序依次打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止，或者最终发现文件已经丢失。
请回答下列问题：
- 如果yty打开了第一个抽屉，但是没有发现他要的文件，请问这份文件在其余7个抽屉的概率是多少？
- 如果yty打开了前4个抽屉，里面没有发现他要的文件，请问这份文件在其余4个抽屉里的概率是多少？
- 如果yty打开了前7个抽屉，里面没有他要的文件，请问这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少？
题解
我们可以假设yty有10个柜子，不过后两个柜子是扔进去就扔不出来的(即弄丢了)，然后就可以进行愉快的概率计算啦。
假设yty打开了前\(i\)个抽屉，里面没有发现他想要的文件，那么这份文件在其余\(8-i\)个抽屉的概率是\(\frac{8-i}{10-i}\)
古典概率
- 古典概率也叫事前概率，也就是在事情发生之前我们就可以推算出来任何事件发生的概率。概率用的最早的就是一些概率游戏和赌博中。
特点
- 样本容量有限
- 事件可能性相同
- 事件互斥
计算公式
在计算古典概率的时候，如果在全部可能出现的基本事实范围内构成事件\(A\)的基本事件有\(a_n\)个，不构成事件\(A\)的基本事件有\(b_n\)个，那么出现事件\(A\)的概率是\(P(A)=a/(a+b)\)
数学期望
数学期望可以理解为某件事情大量发生之后的平均结果(这个事件的概率会受到一些因素的干扰)，可以这样分辨：概率针对几率，期望针对最终结果。
计算公式
在计算时不能简单的使用古典概率的计算方法，不能只考虑样本容量，还得考虑样本中每个事件出现的概率，假设我们规定\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\)是随机输出值，这些随机输出值对应的概率就是\(p_1,p_2,p_3,...,p_n\)(\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\))，数学期望的公式是\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i \times x_i\)
扩展公式
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期望的“线性”性。\(E(aX)+E(bY)=aE(X)+bE(Y)\)
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全概率公式。假设\(\{B_n|n=1,2,3,...,n\}\)是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合\(B_n\)是一个可测集合，则对任意事件\(A\)有全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_n)P(B_n)\)。其中\(P(A|B)\)是\(B\)发生后\(A\)的条件概率。
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引申：\(P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}\)
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全期望公式。\(P_{ij}=P(X=x_i,Y=y_i)(i,j=1,2,..n)\)，当\(X=x_i\)时，随机变量\(Y\)的条件期望以\(E(Y|X=x_i)\)表示，则全期望公式：
\[\begin{split} E(E(Y|X))& =\sum_{i=1}^{n}P=(X=x_i)E(Y|X=x_i)\\ & =\sum_{i=1}^{n}p_i\sum_{k=i}^{n}yk\frac{p_ik} {p_i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=i}^{n}p_iy_k\frac{p_ik}{p_i}\\ & =E(Y) \end{split} \]所以：\(E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)E(Y|X=x_i)\)
例题
如果yty一个人搬砖，平均需要4小时，而hh有0.4的概率来帮yty搬砖，两个人一起搬砖平均只需要3小时。
题解
令X表示搬砖的人数，Y表示搬砖的期望时间，则\(E(Y)=P(X==1)E(Y|X==1)+P(X=2)E(Y|X==2)=(1-0.4)*4-0.4*3=3.6\)
用递推解决期望问题
对于期望问题，利用已经求出的期望推出其他状态的期望，也可以根据一些特点和结果相同的情况，求出其概率。对于一些比较难找到递推关系的数学期望问题可以使用期望的定义式：\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\)，根据实际情况以概率或者方案数(也就是概率 * 总方案数)作为一种状态，而下标直接或间接对应了这个概率下的变量值，将问题变成比较一般的统计方案数问题或者利用全概率公式计算概率的递推问题。对于另外一些带有决策的期望问题，可以使用DP解决，这类题由于要满足最优子结构，一般都用期望来表示状态，而期望正或负表现了这单个状态的优或劣。对于递推和动态规划都无法有效结局的模型，由于迭代的效率低，而且迭代的致命缺点是无法得到精确解，可以建立线性方程组并利用高斯消元的方法来解决。
例题
- 题面：有\(n\)个不同的瓶盖，每种瓶盖出现的概率相同，平均买几瓶饮料才能凑齐所有瓶盖?
- 数据范围：\(2\le n \le 33\)
题解
设\(f(n,k)\)表示一共有\(n\)个球星，现在还剩下\(k\)个球星没有收集到，则\(f(n,k)=\frac{n-k}{n}f(n,k)+\frac{k}{n}f(n,k-1)+1\)
化简可得:\(f(n,k)=f(n,k-1)+\frac{n}{k}\)
Code
\[\mathcal{show \enspace you \enspace the \enspace code} \]
int n;
LL fm=1,fz,shu;
inline LL gcd(LL a,LL b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
scanf("%d",&n);fz=n;
for(int i=2;i<=n;i++){
fz=fz*i+n*fm;fm*=i;//这里注意顺序
int GCD=gcd(fm,fz);
fz/=GCD;fm/=GCD;
}
if(fz%fm==0){printf("%lld",fz/fm);return 0;}
shu=fz/fm;fz=fz%fm;
int cnt1=0;LL s=shu;
while(s){cnt1++;s/=10;}
int cnt2=0;s=fm;
while(s){cnt2++;s/=10;}
for(int i=1;i<=cnt1;i++)printf(" ");
printf("%lld\n%lld",fz,shu);
for(int i=1;i<=cnt2;i++)printf("-");puts("");
for(int i=1;i<=cnt1;i++)printf(" ");
printf("%lld",fm);
return 0;
}
概率 习题
小魔女帕琪
- 题面：给定7种属性的能量晶体，求7个不同属性的能量晶体相连的数量期望(注:12345671是2个)
题解
- "1234567"的可能是\(sum=a[1]/sum \times a[2]/(sum-1)... \times a[6]/(sum-5) \times a[7]\)
- 但实际上在上面的基础上有全排列种可能，即\(sum \times 7!\)
Code
\[\mathcal{show \enspace you \enspace the \enspace code} \]
int a[9],sum;
int jie=1;
int main(){
for(int i=1;i<=7;i++){
a[i]=read();sum+=a[i];jie*=i;
}
printf("%.3lf",1.0*a[1]/sum*a[2]/(sum-1)*a[3]/(sum-2)*a[4]/(sum-3)*a[5]/(sum-4)*a[6]/(sum-5)*a[7]*jie);
return 0;
}