说明
课堂教的云里雾里，非常懵，其实线性代数的思路很简单
把细节忘了都行，把思路消化
矩阵就是向量的映射
矩阵就是向量的映射
矩阵就是向量的映射
也可以看做对空间的线性变换
类似f(g(x)),多个矩阵相继变换A(B(x))简写作ABx，即\(x \rightarrow_{B} \rightarrow_{A} = ABx\)
相似（一切的起始点）
同一个线性变换，在不同的基下，是相似的
即若\(PAP^{-1} = B\),A、B相似，这步看做 :
向量x首先经过基变换\(P^{-1}\)映射到某个基下，即\(P^{-1}x\)
然后在该基下做线性变换A，即\(AP^{-1}x\)
再变换回来，即\(PAP^{-1}x\)
这与直接对x做同一个变换B，是一样的
对于一个线性变换A，我们希望在某个基下简单的表示它
对角矩阵就是非常好的表示方法，简单，正交
那么，如何找到一个良好的基变换，把某个线性变换变成对角矩阵？
假设我们有变换B，我们希望求出它在某个基下的对角矩阵A
\(PAP^{-1} = B\)即\(PA = BP\)
同时，A是一个对角矩阵
把每一列单独拿出来看，我们就有
\(Bp_1 = \lambda_1 p_1\)
\(Bp_2 = \lambda_2 p_2\)
\(Bp_3 = \lambda_3 p_3\)
非常自然的，我们可以知道求特征值、特征向量的源起
很明显，所有特征向量组合起来就是基变换 P
同时，由\(Ap = \lambda p\)可知，特征向量就是，该线性变换下，保持方向不变的向量
特征值就是该向量在该线性变换下的伸缩倍数
线性变换
矩阵是映射，自然就有单射、满设、一一映射
这里只关心n阶方阵，一一映射的线性变换，自然可逆，也就是拥有逆变换(逆矩阵)
秩为r意味着把整个线性空间，映射到一个r维的线性空间
数值算法
正交基
正交基有很多良好的性质，可以采用施密特正交化把一个普通基变成正交基
LU分解
对矩阵做LU分解之后，可以很容易的做其他各种计算，同时运算量基本相同
Jacobi方法
求解实对称矩阵的所有特征值的算法
QR分解
求对称和非对称矩阵的所有特征值的算法