算法基础三：分治算法---汉诺塔问题

一、递归与分治

​ 很多有用的算法是递归(recursive)结构的：为了解决一个给定的问题，递归地调用自身一次或者多次来解决关系密切的若干个子问题。这样的算法通常遵循分治（divide and conque）方法：它们将问题分解成若干个与原问题相似而规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，然后把子问题的解合并成原问题的一个解。

分治范式在每一层递归包括三个步骤：

• 分解：将问题分解成若干个子问题
• 治理：递归地解决各子问题。不过若子问题的规模足够小，就直接解决。
• 合并：将子问题的解合并成原问题的一个解

二、汉诺塔问题与递归

1、算法的描述与分析

​ n个大小不同的圆盘（中心有孔，按照尺寸从小到大一次编号为1,2,3，...，n）按尺寸大小（大在下，小在上）叠放在3根杆（编号为A、B和C）的A号杆上，每次移动一个盘，将这n个盘从A号杆移动到C号杆上。移动的过程中不允许大盘叠放在小盘上。要求以最少的移动步骤达到移动目标。

2、伪代码描述

3、解题步骤分析：

第一步：
	把n-1个模块	从塔1移动到塔2
	把第n个模块  从塔1移动到塔3
第二部：
	把n-1个模块  从塔2移动到塔3

三、代码实现

1、Java语言实现

public class Hanoi {

    static int m =0;//标记移动次数
    //实现移动的函数
    public static void move(int disks,char N,char M)
    {
        System.out.println("第" + (++m) +" 次移动 : " +" 把 "+ disks+" 号圆盘从 " + N +" ->移到->  " + M);
    }
    //递归实现汉诺塔的函数
    public static int hanoi(int n,char A,char B,char C)
    {
        if(n == 1)//圆盘只有一个时，只需将其从A塔移到C塔
            Hanoi.move(1, A, C);//将编b号为1的圆盘从A移到C
        else
        {//否则
            hanoi(n - 1, A, C, B);//递归，把A塔上编号1~n-1的圆盘移到B上，以C为辅助塔
            Hanoi.move(n, A, C);//把A塔上编号为n的圆盘移到C上
            hanoi(n - 1, B, A, C);//第二步：递归，把B塔上编号1~n-1的圆盘移到C上，以A为辅助塔
        }
        return m;
    }

}

2、测试

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner imput = new Scanner(System.in);
        char A = 'A';
        char B = 'B';
        char C = 'C';
        System.out.println("******************************************************************************************");
        System.out.println("这是汉诺塔问题（把A塔上编号从小号到大号的圆盘从A塔通过B辅助塔移动到C塔上去");
        System.out.println("******************************************************************************************");
        System.out.print("请输入圆盘的个数：");
        int disks = imput.nextInt();
        int m = Hanoi.hanoi(disks, A, B, C);
        System.out.println(">>移动了" + m + "次，把A上的圆盘都移动到了C上");
        imput.close();
    }
}

四、递归与分治感悟

​ 通过汉诺塔问题，学习到了把一个大问题分解成若干个小问题，最终分解成最简单的一个问题，也就是递归地结束点。