浅谈可持久化Trie与线段树的原理以及实现
引言
当我们需要保存一个数据结构不同时间的每个版本,最朴素的方法就是每个时间都创建一个独立的数据结构,单独储存。
但是这种方法不仅每次复制新的数据结构需要时间，空间上也受不了储存这么多版本的数据结构。
然而有一种叫git的工具，可以维护工程代码的各个版本，而空间上也不至于十分爆炸。怎么做到呢？
答案是版本分支，即每次创建新的版本不完全复制老的数据结构，而是在老的数据结构上加入不同版本的分支。
下面以链表为例
新的版本是部分建立在老的版本之上的。不变的地方不变，有编号的地方就加入新版本的分支。
实现可持久化Trie
基于版本分支的思想，我们怎么建立一个可持久化Trie呢？
其次我们注意到在上面那张链表图中进入下一个节点的时候，每次都要判断有没有我们要进入的新版本的分支，十分麻烦。有没有方法可以保证我们向下找的节点全部是我们要的版本呢？
有方法，我们只需要记录修改过的Trie的关键路径就好了。
什么叫关键路径呢？
这里先假设我们只修改Trie上的一个节点。而所谓关键路径就是从Trie的根节点到修改节点的路径，我们只创建这路径上的节点，其余节点全部继承一个老版本的节点。
如图
这是一个向有{cat,map}的Trie里插入mark的新单词的例子。
不难发现，在ROOT_NEW可以到达的节点构成的树中，凡是不在mark这个单词的路径上的节点统统用的是老版本树的节点。
代码实现
由于可持久化Trie不是我们的主题，代码就不放了
代码很简单，就不多做解释了
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
const int N = 1e1 + 128;
int his[128];
int h;
int to[N][26];
int p;
void insert(string &s)
{
int old = p; //老树的节点
his[++h] = ++p;
int now = p; //新树的
for (auto i : s)
{
for (int j = 0; j < 26; j++)
if (i - 'A' != j) //非关键路径上的节点继承老树
to[now][j] = to[old][j];
to[now][i - 'A'] = ++p; //关键路径上的节点就新建
now = p;
old = to[now][i - 'A']; //老树也要跟下去
}
return;
}
bool ask(int h, string &s) //询问某个版本的Trie里,是否有对应的单词
{
int now = his[h];
for (auto i : s)
{
if (to[now][i - 'A'] == 0)
return false;
now = to[now][i - 'A'];
}
return true;
}
int main()
{
int opt;
while (cin >> opt)
{
if (opt == 1) //插入
{
string str;
cin >> str;
insert(str);
}
else
{
string str;
int h;
cin >> str >> h;
cout << ((ask(h, str)) ? 'Y' : 'N') << endl;
}
}
return 0;
}
可持久化线段树
终于到了我们的主题了。可持久化线段树顾名思义就是可持久化的线段树
存在的意义首先是满足部分线段树的要求，然后也能根据线段树的特性解决一部分可持久化Trie的弊端。
聪明的小伙伴可以发现在一个Trie中，我们要把一条完整的子链完全复制下来，如果我们老版本的Trie本来就是一条链，这种操作无异于把Trie重新复制一遍，还是相当慢，怎么办？
在维护一个Trie的时候，这种问题可能会让人头疼。但是线段树可以完全避免，因为线段树的树高是完全有限的[\(Log (n)\)级别]。
基本思路还是只记录修改过的关键路径，不在关键路径上的节点继承老版本的子树。
基本原理还是和可持久化Trie差不多，看图和代码基本也能理解了
代码实现
有一点要注意的是,这个线段树的节点关系已经是一个有向图了,不能用满二叉树的性质去计算他的左右儿子。需要手动记录。
其实就是P3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）的题解
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5e7 + 128;
int num[N / 10];
int his[N / 10];
int h_ptr;
int lc[N], rc[N], val[N];
int p;
int n, m;
void build(int u, int l, int r) //和常规的线段树建立差不多,就是要左右儿子不能用满二叉树性质算出来了,所以要手动存
{
if (l == r)
{
val[u] = num[l];
return;
}
lc[u] = ++p;
rc[u] = ++p;
int mid = (l + r) >> 1;
build(lc[u], l, mid);
build(rc[u], mid + 1, r);
}
void fork_only(int h) //仅仅只复制一个历史版本
{
his[h_ptr++] = his[h];
}
void fork_and_edit(int h, int addr, int val_) //复制一个带修改的版本为h的历史版本到最新版本中(把addr这里的数修改为val)
{
int old = his[h];
int now = ++p;
his[h_ptr++] = p;
int l = 1, r = n;
while (l < r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
if (addr <= mid) //关键路径在左儿子
{
rc[now] = rc[old]; //所以右儿子直接继承
lc[now] = ++p; //新建一个左儿子
now = lc[now];
old = lc[old];
r = mid;
}
else
{
lc[now] = lc[old]; //反之继承左儿子
rc[now] = ++p;
now = rc[now];
old = rc[old];
l = mid + 1;
}
}
val[now] = val_;
return;
}
int query(int u, int addr)
{
int l = 1, r = n;
while (l < r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
if (addr <= mid)
u = lc[u], r = mid;
else
u = rc[u], l = mid + 1;
}
return val[u];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> num[i];
his[h_ptr++] = ++p;
build(p, 1, n);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int v, opt, loc;
cin >> v >> opt >> loc;
if (opt == 1)
{
int value;
cin >> value;
fork_and_edit(v, loc, value);
}
else
{
cout << query(his[v], loc) << endl;
fork_only(v);
}
}
return 0;
}
如果对代码有问题欢迎评论斧正。