因为近期进行了有关 主席树 的专题训练，为了巩固对 “主席树” 的了解，同时方便后期复习，在这里整理了一下有关 “主席树” 的一些要点。
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首先，我们来讲讲
什么是 “主席树” ？
主席树 ，又名 “可持久化线段树” ，顾名思义，其本质就是一棵 “进化版” 的线段树，且进化了 “可持久化” 这个功能。
那么，什么是 “可持久化” ？
百度百科
上的解释是 “持久化是将程序数据在持久状态和瞬时状态间转换的机制” 。
换句话说，传统意义上的线段树在修改后就无法复原，只能记录当前状态，不够“持久”，而可持久化线段树在修改后仍然可以访问以前的状态，很“持久”。
可它为什么又叫 “主席树” ？
这是一个比较有意思的问题，有一种说法是：据说发明主席树的人的姓名简写为hjt，与当时的国家主席的姓名简写一样，故叫做“主席树”。
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了解了主席树，我们再了解一下
主席树如何 “持久” ？
传统的线段树只能维护一维，并在这一维上进行修改、询问。
就像这样：
而主席树在线段树的基础上多了一维，相当于同时存了多个线段树，就像这样：
或者有点像这样：
但这仍然是暴力开出来的多个线段树，在实际应用中很容易MLE，可真正的主席树是一个实用且好用的算法，所以显然不是这样。
我们注意到，每次更新线段树时，只会更新一个点或者一个区间，也就是说，大部分节点是没有改变的。
只要我们把这些不变的点压成一个点，无论是时间还是内存上都会大大优化。
换句话说，在更新时，只用将修改的节点重开即可，其他节点保留。
所以真正的主席树长得有点像这样：
看不习惯？换一个：
也就是说，主席树通过建点不建树这种折中的办法，不仅节约了时间和空间，还实现了“持久化”。
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到这里为止，已经对主席树有了大致的了解。那么
如何实现主席树？
以
模板题
为例。
事先说明，在本题中，主席树起到了前缀和的作用，主席树节点以数值（区间）为下标进行二分，主席树节点权值记录该数值（区间）出现的数量的前缀和。
先解释一下主席树最关键的几个变量：
- rt，即root，每棵主席树的根节点。
- ls，即left son，记录每个节点的左儿子
- rs，即right son，记录每个节点的右儿子
- t，即tree，记录每个节点的权值
- tot，即total，统计节点的总个数，用于建新点
主席树的关键在于建点，所以，建点的部分是必不可少的。建新点时要注意将上一个点的状态继承过来，这样的主席树才是完整的：
void nw(int &p){
++tot;
t[tot]=t[p];
ls[tot]=ls[p];
rs[tot]=rs[p];
p=tot;
}
更新时，大体上与传统的线段树相似，都是从\([l,r]\)区间转移到\([l,mid]\)或\([mid+,r]\)区间。
不同的在于，传统线段树转移时，节点由\(p\)变为\(p<<1\)或\(p<<1|1\)，而主席树因为建了许多新点，编号不是吧连续的，所以转移时要变为\(ls[p]\)或\(rs[p]\)。
不要忘记建新点，这才是主席树的精髓！
void change(int l,int r,int x,int &p){
nw(p);++t[p];
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)change(l,mid,x,ls[p]);
else change(mid+1,r,x,rs[p]);
}
询问时，大体上也和传统线段树相似，在本题中，因为询问的区间第k小，所以需要记录\(L,R\)两个节点，通过做差求得区间某数个数，再与k比较判断向左还是向右转移：
注意：询问时不能建新点！
int query(int l,int r,int k,int L,int R){
if(l==r)return l;
int mid=l+r>>1;
int s=t[ls[R]]-t[ls[L]];
if(k<=s)return query(l,mid,k,ls[L],ls[R]);
return query(mid+1,r,k-s,rs[L],rs[R]);
}
综上，完整的主席树成型了：
struct HJT{
int tot,ls[MM],rs[MM],t[MM];
void nw(int &p){
++tot;
t[tot]=t[p];
ls[tot]=ls[p];
rs[tot]=rs[p];
p=tot;
}
void change(int l,int r,int x,int &p){
nw(p);++t[p];
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)change(l,mid,x,ls[p]);
else change(mid+1,r,x,rs[p]);
}
int query(int l,int r,int k,int L,int R){
if(l==r)return l;
int mid=l+r>>1;
int s=t[ls[R]]-t[ls[L]];
if(k<=s)return query(l,mid,k,ls[L],ls[R]);
return query(mid+1,r,k-s,rs[L],rs[R]);
}
}T;
再放入题目中，写得以下代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define lb lower_bound
using namespace std;
const int M=2e5+5,MM=M*20;
int n,m,a[M],b[M],cnt,rt[M];
struct HJT{
int tot,ls[MM],rs[MM],t[MM];
void nw(int &p){
++tot;
t[tot]=t[p];
ls[tot]=ls[p];
rs[tot]=rs[p];
p=tot;
}
void change(int l,int r,int x,int &p){
nw(p);++t[p];
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)change(l,mid,x,ls[p]);
else change(mid+1,r,x,rs[p]);
}
int query(int l,int r,int k,int L,int R){
if(l==r)return l;
int mid=l+r>>1;
int s=t[ls[R]]-t[ls[L]];
if(k<=s)return query(l,mid,k,ls[L],ls[R]);
return query(mid+1,r,k-s,rs[L],rs[R]);
}
}T;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i];}
sort(b+1,b+n+1);cnt=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=lb(b+1,b+cnt+1,a[i])-b;
rt[i]=rt[i-1];
T.change(1,cnt,a[i],rt[i]);
}
for(int l,r,k;m;--m){
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",b[T.query(1,cnt,k,rt[l-1],rt[r])]);
}
return 0;
}
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到这里为止，已经掌握了主席树最基本也是最关键的部分。
当然，主席树的应用还有很多，它不仅可以随着数组变化，记录前缀和，还可以随着时间变化，并随时回溯（据说Word、Dev等应用中的返回功能与主席树的原理类似）。
\(\mathcal{By}\quad\mathcal{Most}\ \mathcal{Handsome}\)