正投影
设物体上任一点的三维坐标为\(p(x,y,z)\)，投影后的三维坐标为\(p^,(x^,,y^,,z^,)\)，则正交投影方程为：
\[ \left\{\begin{array}{rcl} x^,=x \\ y^,=y \\ z^,=0 \end{array} \right. \]
齐次坐标矩阵表示为：
\[\left[\begin{matrix} x^, \\ y^, \\ z^, \\ 1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] \]
其中，正交投影矩阵为：
\[ S=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \]
斜投影
斜投影变换
- 斜投影是投影方向不垂直投影面的平行投影。
- 记投影方向与投影面\(xoy\)的夹角为\(\alpha\)，投影线与\(ox\)正向的夹角为\(\beta\)，则斜投影变换为：
\[ \left\{\begin{array}{rcl} x^,=x-zcot\alpha cos\beta \\ y^, =y-zcot\alpha sin \beta \end{array}\right. \]
齐次方程为：
\[ \left[\begin{matrix} x^, \\ y^, \\ z^, \\ 0 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -cot\alpha cos\beta & 0 \\ 0 &1 & -cot\alpha sin \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] \]
斜等测投影与斜二测投影
- 斜等测投影：\(\beta=45^\circ\)，\(\alpha=45^\circ\)
\[ \left\{\begin{array}{rcl} x^,=x-0.707z \\ y^, =y-0.707z \end{array}\right. \]
- 斜二测投影：\(\beta=45^\circ\)，\(\alpha \approx 63.4^\circ\)（\(cot\alpha =0.5\)）
\[ \left\{\begin{array}{rcl} x^,=x-0.3536z \\ y^, =y-0.3536z \end{array}\right. \]