本篇是该系列的第六篇，承接上篇IZigZag变换，介绍接下来的一个步骤——逆离散余弦变换，即逆零偏置前的一个步骤。
该步骤比较偏理论，其业务是对IZigZag变换后的数据，再进一步的处理，使其恢复DCT变换前的数据。
需要补充一点说明的是，上面的DCT其实是DCT2，因为jpeg编码下都是对8x8的像素块进行处理。
1. 理论
1.1. 背景
DCT，即离散余弦变换，常用图像压缩算法，步骤如下
1）分割，首先将图像分割成8x8或16x16的小块；
2）DCT变换，对每个小块进行DCT变换；
3）舍弃高频系数（AC系数），保留低频信息（DC系数）。高频系数一般保存的是图像的边界、纹理信息，低频信息主要是保存的图像中平坦区域信息。
4）图像的低频和高频，高频区域指的是空域图像中突变程度大的区域（比如目标边界区域），通常的纹理丰富区域。
1.2.算法
二维DCT变换就是将二维图像从空间域转换到频率域。形象的说，就是计算出图像由哪些二维余弦波构成。其算法如下：
其中，F就是变换得到的系数，f是图像的像素值，A是转换矩阵，其中i为二维波的水平方向频率，j为二维波的垂直方向频率，取值范围都是0-(N-1)，N是图像块的大小，其中：
即进行如下步骤的处理可以得到DCT变换后的系数矩阵：
1）求出转换矩阵A；
2）利用转换矩阵A，转换到频域，即由图像 f 得到系数矩阵F。
2. 实践
2.1. 图像上运用实现
DCT用图像上的处理，都是对8x8的像素数据块进行处理，因此，DCT2变换的转换矩阵A为：
其中，
那么转换矩阵A为：
计算如这个链接：
1 void InitTransMat() 2 { 3 int i,j; 4 float a; 5
6 for(i=0;i<MAT_SIZE;i++) 7 { 8 for(j=0;j<MAT_SIZE;j++) 9 { 10 a = 0; 11 if(i==0) 12 { 13 a=sqrt((float)1/MAT_SIZE); 14 } 15 else
16 { 17 a=sqrt((float)2/MAT_SIZE); 18 } 19 DCT_Mat[i][j]= a*cos((j+0.5)*PI*i/MAT_SIZE); //变换矩阵
20 } 21 } 22 /* only for 8x8 */
23 //float Tmp[100][100] = { 24 // {0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536,}, 25 // {0.4904, 0.4157, 0.2778, 0.0975, -0.0975, -0.2778, -0.4157, -0.4904,}, 26 // {0.4619, 0.1913, -0.1913, -0.4619, -0.4619, -0.1913, 0.1913, 0.4619,}, 27 // {0.4157, -0.0975, -0.4904, -0.2778, 0.2778, 0.4904, 0.0975, -0.4157,}, 28 // {0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536, 0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536,}, 29 // {0.2778, -0.4904, 0.0975, 0.4157, -0.4157, -0.0975, 0.4904, -0.2778,}, 30 // {0.1913, -0.4619, 0.4619, -0.1913, -0.1913, 0.4619, -0.4619, 0.1913,}, 31 // {0.0975, -0.2778, 0.4157, -0.4904, 0.4904, -0.4157, 0.2778, -0.0975,}, 32 //}; 33 //for (int i=0; i<8; i++) 34 // for (int j=0; j<8; j++) 35 // DCT_Mat[i][j] = Tmp[i][j];
36 }
2.2. IDCT2—— 由F求f的过程
前篇文章已介绍了由IZigZag变换后得到的系数矩阵F，那么要恢复原数据，就要进行如下变换：
算法的C语言描述如下：
1 int IDCT2(float (*dst)[8], int (*block)[8], bool dump) 2 { 3 float trans_matrix[8][8] = { 4 {0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536,}, 5 {0.4904, 0.4157, 0.2778, 0.0975, -0.0975, -0.2778, -0.4157, -0.4904,}, 6 {0.4619, 0.1913, -0.1913, -0.4619, -0.4619, -0.1913, 0.1913, 0.4619,}, 7 {0.4157, -0.0975, -0.4904, -0.2778, 0.2778, 0.4904, 0.0975, -0.4157,}, 8 {0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536, 0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536,}, 9 {0.2778, -0.4904, 0.0975, 0.4157, -0.4157, -0.0975, 0.4904, -0.2778,}, 10 {0.1913, -0.4619, 0.4619, -0.1913, -0.1913, 0.4619, -0.4619, 0.1913,}, 11 {0.0975, -0.2778, 0.4157, -0.4904, 0.4904, -0.4157, 0.2778, -0.0975,}, 12 }; 13
14 float tmp[8][8]; 15
16 float t=0; 17 int i,j,k; 18 for(i=0;i<8;i++) //same as A'*I
19 { 20 for(j=0;j<8;j++) 21 { 22 t = 0; 23 for(k=0; k<8; k++) 24 { 25 t += trans_matrix[k][i] * block[k][j]; //trans_matrix's ith column * block's jth column
26 } 27 tmp[i][j] = t; 28 } 29 } 30
31 for(i=0; i<8; i++) //same as tmp*A
32 { 33 for(j=0; j<8; j++) 34 { 35 t=0; 36 for(k=0; k<8; k++) 37 { 38 t += tmp[i][k] * trans_matrix[k][j]; 39 } 40 dst[i][j] = t; 41 } 42 } 43
44 if (dump) { 45 puts("----after idct2----"); 46 for (i=0; i<8; i++) { 47 for (j=0; j<8; j++) { 48 printf("%3.4f ", dst[i][j]); 49 } 50 puts(""); 51 } 52 puts(""); 53 } 54
55 return 0; 56 }
2.3. 例子实践
根据前篇文章的IZigZag结果恢复数据，如下：
有没有注意到许多值是近似相等的？这是因为图像在时域的连续性导致，可以利用其进行数据压缩。
3. 篇外补充
正是图像上这种特性，才有了图像压缩的这种方法——空间去冗余。
但是，需要说明一点的是，DCT2/IDCT2不是有损失压缩（压缩是数据量降低的概念，有损/无损是转换前后信息是否丢失的概念），因为它可以完全恢复数据，只是这种变换将图像在空间域/频率域之间转换。另外因为本人用的是浮点运算，因此会降低运算速度。一种优化可以把变换矩阵表每个元素都扩大10000倍，进行整形运算。
从DCT正变换角度来说，时域的非0数据量很多，但是经DCT2转换后，频域（非0数据）数据量变得非常少，值都普遍缩小，很多较大的非零值转换为了0，后续可以用其他算子来表示一连串连续的零数据。
在这里，要特别感谢傅里叶这位法国数学家，正是因为他的出色工作，才使得如今的最常见的图像压缩技术变成了现实。
正可谓，前人栽树后人乘凉。前人的理论成果，后人在应用上开花结果。