学习笔记：模拟退火

模拟退火大概就是一个随机化求最优解的问题。

考虑一个较连续的多峰的函数，用模拟退火可以较大几率找到极值，具体过程（这里假设找的是最小值，最大值反着弄一下就行了）：

1. 初始一个温度 / 步长 \(T\)，随机一个点

2. 在步长范围内随机选一个新点，记能量变化量 \(ΔE\) 为新点值 \(-\) 旧点值。

   • 若 \(ΔE < 0\) 就跳到新点（更优）
   • 否则一定概率跳到新点（！）

   这个概率一般取 \(e^{-\frac{ΔE}{T}}\)，即判断 \(e^{-\frac{ΔE}{T}} > rand(0, 1)\) 作为跳不跳的条件，\(rand(0, 1)\) 表示 \(0 \sim 1\) 的随机数。

   （考虑 \(< 0\) 里面这个东西 \(>1\)，如果 \(>0\) 那么它越靠近 \(0\) 概率越高。

3. 缩小步长 \(T\) （一般乘一个 \(0.99\) 之类的东西），重复步骤 \(2\) 直到步长足够小（在输出精度误差范围内）。

正确性十分玄学，不过在重复多次的情况下错误率极低（具体可以通过峰值，循环，幂次的形式自己算一算）

例题

POJ2420：二维自变量的连续函数，板子。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int N = 105;
const double eps = 1e-5;

double inline rand(int l, int r) {
    return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l; 
}

int n, X[N], Y[N];
double ans = 1e18, s;

double inline get(double x, double y) {
    double res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += sqrt((x - X[i]) * (x - X[i]) + (y - Y[i]) * (y - Y[i]));
    ans = min(ans, res);
    return res;
}

void inline simulateAnneal() {
    double x = rand(0, 10000), y = rand(0, 10000), v = get(x, y);
    for (double t = 10000; t > eps; t *= 0.99) {
        double nx = rand(x - t, x + t), ny = rand(y - t, y + t), nv = get(nx, ny);
        if (exp(-(nv - v) / t) > rand(0, 1)) x = nx, y = ny, v = nv; 
    }
}

int main() {
    s = clock();
    srand(time(0)); 
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", X + i, Y + i);
    while (((double)clock() - s) / CLOCKS_PER_SEC < 0.8) simulateAnneal();
    printf("%.0f\n", ans);
}

AHOI2014 保龄球：交换两个位置差距不会太大较为连续，板子。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 55;

int n, X[N], Y[N], m, p[N];

int ans = 0, sum;

int inline get() {
    int res = sum;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        if (X[p[i]] == 10) res += X[p[i + 1]] + Y[p[i + 1]];
        else if (X[p[i]] + Y[p[i]] == 10) res += X[p[i + 1]]; 
    ans = max(ans, res);
    return res;
}

double inline rd() {
    return (double)rand() / RAND_MAX;
}

void inline simulateAnneal() {
    int v = get();
    for (double t = 1e4; t > 1e-4; t *= 0.99) {
        int a = rand() % m + 1, b = rand() % m + 1;
        swap(p[a], p[b]);
        if (n + (X[p[n]] == 10) == m) {
            int nv = get();
            if (exp(-((double)v - nv) / t) <= rd()) swap(p[a], p[b]); 
            else v = nv;
        } else swap(p[a], p[b]);
    }
}

int main() {
    srand(time(0)); double s = clock();
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", X + i, Y + i);
    if (X[n] == 10) scanf("%d%d", X + n + 1, Y + n + 1);
    m = n + (X[n] == 10);
    for (int i = 1; i <= m; i++) sum += X[i] + Y[i], p[i] = i;
    while ((clock() - s) / CLOCKS_PER_SEC < 0.8) simulateAnneal();
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

HAOI2006 均分数据：考虑一种贪心方式，每次按照一定顺序，每个数放最小和里，考虑肯定有顺序能构成最优解，而且这题数据水的一批，因此乱搞一下就过了。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 21;

int n, m, a[N], b[N], p[N];

double ans = 9e18;

int inline get() {
	for (int i = 1; i <= m; i++) b[i] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int t = 1;
		for (int j = 2; j <= m; j++) if (b[j] < b[t]) t = j;
		b[t] += a[p[i]];
	}
	double s = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) s += b[i];
	s /= m;
	double res = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) res += (b[i] - s) * (b[i] - s);
	res /= m;
	ans = min(ans, res);
	return res;
}

double inline rd() {
	return (double)rand() / RAND_MAX;
}

void inline simulateAnneal() {
	int v = get();
	for (double t = 1e3; t > 1e-2; t *= 0.9) {
		int a = rand() % n + 1, b = rand() % n + 1;
		swap(p[a], p[b]);
		int nv = get();
		if (exp(-((double)nv - v) / t) <= rd()) swap(p[a], p[b]); 
		else v = nv;
	}
}

int main() {
	srand(time(0)); double s = clock();
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i), p[i] = i;
	simulateAnneal();
	printf("%.2f\n", sqrt(ans));
	return 0;
}