n皇后问题—回溯法

一、问题简介

描述

在n×n 格的棋盘上放置彼此不受攻击的n 个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2 个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 设计一个解n 后问题的队列式分支限界法，计算在n× n个方格上放置彼此不受攻击的n个皇后的一个放置方案。

Input

输入数据只占一行，有1 个正整数n，n≤20。

Output

将计算出的彼此不受攻击的n个皇后的一个放置方案输出。第1行是n个皇后的放置方案。

Sample Input

5

Sample Output

1 3 5 2 4

二、问题分析

回溯法解的生成

回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

回溯法与穷举法

回溯法与穷举法有某些联系，它们都是基于试探的。穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

解题思路

1. 用 d[i]=k 表示第 i 个皇后放在第 k 个位置上，
2. 然后从第1个皇后，第1个位置开始，每次放置前先调用 check() 函数判断与其他皇后是否冲突
3. 如果不冲突则放置
4. 如果冲突则移至下一个位置，如果位置到了最后一个，则不放，且将上一次放置的皇后移至下一个位置，递归调用。
5. 直至放置完毕所有皇后（flag=true） 或者 所有位置遍历结束。

三、代码

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

int n=0;
int d[21];
bool flag = false;
void backtrack(int);
bool check(int);

int main(){
    cin>>n;

    backtrack(1);
    for(int i=1;i<n;i++)
        cout<<d[i]<<' ';
    cout<<d[n];
}
void backtrack(int k){

    if (k == n+1){
        flag=true;
        return;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        d[k] = i;
        if (check(k))
            backtrack(k+1);
        if (flag)
            return;
        d[k] = 0;
    }
}
bool check(int k){
    for (int i=1;i<=k;i++)
        for (int j=i+1;j<=k;j++)
            if (d[i] == d[j] || abs(d[i] - d[j]) == abs(i-j))
                return false;

    return true;
}

python版

n = int(input())
d = [0] * (n+1)
flag = 0


def check(k):
    if k == 1:
        return True
    for i in range(1, k+1):
        for j in range(i+1, k+1):
           # print(j,end=' ')
            if d[i] == d[j] or abs(d[i] - d[j]) == abs(i-j):
                return False

    return True



def dfs(k):

    global flag
    if k == n+1:
        flag=1
        return
   # print('k =', k)
    for i in range(1, n+1):
        d[k] = i
       # print('d[',k,'] = ',i,sep='')
        if check(k):
            dfs(k+1)

        if flag == 1:
            return
        d[k] = 0


dfs(1)
for x in d[1:n]:
    print(x,end=' ')
print(d[n],end='')