三角恒等式的证明

前言

三角式证明

求证：\(\cfrac{sin(2\alpha+\beta)}{sin\alpha}-2cos(\alpha+\beta)=\cfrac{sin\beta}{sin\alpha}\)

求证：$(tan\alpha+\cfrac{1}{tan\alpha})\cdot \cfrac{1}{2}sin2\alpha-2cos^2\alpha=-cos2\alpha $

分析：切化弦，

左式\(=(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\cfrac{cos\alpha}{sin\alpha})\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha\)

\(=\cfrac{1}{sin\alpha cos\alpha}\cdot sin\alpha cos\alpha-2cos^2\alpha\)\(=1-2cos^2\alpha\)\(=-cos2\alpha\)

常用结论

已知三倍角公式如下：[高考不予考察，仅仅用于拓宽思维使用]

\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)；

\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos^3\theta\)；

\(\tan3\theta=\cfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\)；

[问题]：如何推导三倍角公式？

\(\sin3\theta=\sin(2\theta+\theta)=sin2\theta\cdot\cos\theta+\cos2\theta\cdot\sin\theta\)

\(=(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\)

\(=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\)

\(=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

万能公式

三角万能公式，高考中不做考察要求；

\(\sin\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\)；\(\cos\theta=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\)；\(\tan\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\)

其中\(\theta\neq 2k\pi+\pi\)，且\(\theta\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)；

证明：按照二倍角公式展开，利用二次齐次式，分子分母同除，即可证明；

\[\sin\theta=2\sin\cfrac{\theta}{2}\cos\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2}+\cos^2\frac{\theta}{2}}=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} \]

\[\cos\theta=\cos^2\cfrac{\theta}{2}-\sin^2\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2}+\cos^2\frac{\theta}{2}}=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} \]

\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

证明：切化弦，然后分子分母同乘，即可证明；

\[\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \]

\[\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \]

故有，\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

或者，由\(\sin\alpha\cdot\sin\alpha=1^2-\cos^2\alpha=(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)\)，

即\(\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\cfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)，连结证明也可。

三角形相关

在\(\triangle ABC\)中的恒等式，有些在解题中需要用到。

\(\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\cfrac{A}{2}\cos\cfrac{B}{2}\cos\cfrac{C}{2}\)

\(\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\cfrac{A}{2}\sin\cfrac{B}{2}\sin\cfrac{C}{2}\)

\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\quad\)(\(A，B，C\neq \cfrac{\pi}{2}\))

证明： 由于 \(tan(\alpha+\beta)=\cfrac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}\)，

我们对其做变形，得到

\(tan(\alpha+\beta)\cdot (1-tan\alpha\cdot tan\beta)=tan\alpha+tan\beta\)

如果将其放置到斜三角形指锐角三角形和钝角三角形。和直角三角形并列。\(\quad\)中，

则有\(tan(A+B)\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB\)，

在三角形中，由\(A+B+C=\pi\)可知\(A+B=\pi-C\)，

则有\(tan(A+B)=-tanC\)，代入上式即得到，

\[-tanC\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB \]

整理后得到，$$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC$$