高等数学 - 微分方程
微分方程部分设计一些模式化的技巧，特列于此供查阅。
1 微分方程
- 一般地，凡表示未知函数、未知函数的倒数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
- 找出这样的函数，把这个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。
- 如果微分方程的解中含有任意常数（线性无关），且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
- 由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件叫做初值条件。
- 确定了微分方程中的任意常数之后，就得到了微分方程的特解。
- 求微分方程 \(y'=f(x,y)\) 满足初值条件 \(y|_{x=x_0}=y_0\) 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题。记作：\(\begin{cases} y'=f(x,y) \\ y|_{x=x_0}=y_0 \end{cases}\) 。
- 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题的几何意义就是求微分方程的通过点 \((x_0,y_0)\) 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题 \(\begin{cases} y''=f(x,y,y') \\ y|_{x=x_0}=y_0;y'|_{x=x_0}=y_0' \end{cases}\) 的几何意义是求微分方程的通过点 \((x_0,y_0)\) 且在该点处的切线斜率为 \(y_0'\) 的那条积分曲线。
2 可分离变量的微分方程
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一般地，如果一个一阶微分方程能写成 \(g(y)\text{d}y=f(x)\text{d}x\) 的形式，也即能写成一端只含 \(y\) 的函数和 \(\text{d}y\) ，另一端只含 \(x\) 的函数和 \(\text{d}x\) ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
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通用解法：
设 \(y=\varphi(x)\) 为 \(g(y)\text{d}y=f(x)\text{d}x\) 的解，则有 \(g(\varphi(x))\text{d}\varphi(x)=f(x)\text{d}x\) ，
即 \(g(y)y'\text{d}x=f(x)\text{d}x\) ，
积分得 \(\int g(y)\text{d}y=\int f(x)\text{d}x\) ，
设 \(g(y)\) 和 \(f(x)\) 分别有原函数 \(G(y)\) 和 \(F(x)\) ，
则 \(G(y)=F(x)+C\) 。
- 例1：
求微分方程 \(\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=2xy\) ，求通解。
解：\(\frac{\text{d}x}{x}=2y\text{d}y\) ，即 \(ln|x|=y^2+C\)
3 齐次方程
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如果一阶微分方程可以化为 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi(\frac{y}{x})\) 的形式，则称这个方程为齐次方程。
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通用解法：
引进 \(u=\frac{y}{x}\) ，即 \(y=ux\) ，\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\) ，即微分方程化为 \(u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\varphi(u)\) ，于是就变成了可分离变量的微分方程形式。\(\frac{\text{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\text{d}x}{x}\) ，积分后再将 \(u\) 替换，即得通解。
4 可化为齐次的方程
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方程 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\) ，当 \(c\ne c_1\) 时不是齐次的，可以通过变换将其转换成齐次的。
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通用解法：
令 \(x=X+h,y=Y+k\) ，从而方程为 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}\) ，解线性方程组 \(\begin{cases} ah+bk+c=0 \\ a_1h+b_1k+c_1=0 \end{cases}\) ，若有解，即可化为齐次方程。
5 一阶线性微分方程
- 方程 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)\) 叫做一阶线性微分方程。当 \(Q(x)\equiv0\) ，为齐次的，否则为非齐次的。
- 通用解法：
求一阶线性微分方程时，先求对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数变易为 \(u(x)\) ，代入原来的非齐次形式的方程，求 \(u(x)\) 。
- 例1：
求方程 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}\) 的通解.
解：这是一个一阶线性非齐次微分方程，齐次形式为 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{2y}{x+1}=0\) ，即 \(\frac{\text{d}y}{y}=\frac{2\text{d}x}{x+1}\) ，按可分离变量的方程求法，可得 \(ln|y|=2ln|x+1|+C_1\) ,即 \(y=C(x+1)^2\) 。将常数变易为 \(u(x)\) ，即有 \(y=u(x)(x+1)^2\) ，则有 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u'(x+1)^2+2u(x+1)\) ，代入原非齐次方程得 \(u'(x+1)^2+2u(x+1)-2u(x+1)=(x+1)^{\frac{5}{2}}\) ，即 \(u'=(x+1)^{\frac{1}{2}}\) ，得 \(u(x)=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C_2\) ，即有原方程得通解为 \(y=(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C_2)(x+1)^2\) 。
6 伯努利方程
- 方程 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n,y\ne 0,1\) 称为伯努利方程。
- 通用解法：
\(\implies \frac{\text{d}y}{\text{d}x}y^{-n}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\) ，取 \(u(y)=y^{1-n}\) ，则有 \(\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) ，原方程 \(\implies \frac{1}{1-n}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+P(x)u(y)=Q(x)\) ，得到了一个线性方程。
- 例1：
略
7 可降阶的高阶微分方程
7.1 \(y^{(n)}=f(x)\)
- 通用解法：
多次积分即可得到结果。
7.2 \(y''=f(x,y')\)
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方程不含 \(y\) ，因此可以替换 \(p=y'\) ，此时有 \(y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=p'\) ，原式化为 \(p'=f(x,p)\) 。
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例1：
求微分方程 \((1+x^2)y''=2xy'\) 满足初值条件 \(y|_{x=0}=1,y'|_{x=0}=3\) 的特解。
解：取 \(p=y'\) ，有 \((1+x^2)\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=2xp\) ，可分离变量为 \(\frac{\text{d}p}{p}=\frac{2x}{1+x^2}\text{d}x\) ，即 \(ln|p|=ln(1+x^2)+C_1\) ，即 \(p=C_2(1+x^2)\) ，即 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=C(1+x^2)\) ，代入条件 \(y'|_{x=0}=3\) ，可得 \(C=3\) ，故 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2+3\) ，积分可得 \(y=x^3+3x+C\) ，再代入条件 \(y|_{x=0}=1\) ，得 \(y=x^3+3x+1\) 。
7.3 \(y''=f(y,y')\)
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方程中不含 \(x\) ，同样替换 \(p=y'\) ，利用复合函数求导 \(y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\) ，原式化为 \(p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(y,p)\) ，就得到一个关于 \(p,y\) 的一阶微分方程。
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例1：
求微分方程 \(yy''-y'^2=0\) 的通解。
解：取 \(p=y'\) ，有 \(y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}y'\) ，代入得 \(y\frac{\text{d}p}{\text{d}y}y'-y'^2=0\) ，即 \(y\frac{\text{d}p}{\text{d}y}p-p^2=0\) ，仅考虑 \(y\ne 0,p\ne 0\) ，得 \(\frac{\text{d}p}{p}=\frac{\text{d}y}{y}\) ，\(ln|p|=ln|y|+C_1\) ，即 \(p=Cy\) ，\(y'=Cy\) ，故 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=Cy\) ，有 \(ln|y|=Cx+C_1\) ，即 \(y=C_1e^{C_2x}\) 。
8 高阶线性微分方程
对于二阶齐次线性方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)
- 如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的两个解，那么其线性组合也是方程的解。
- 如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的两个解，且线性无关，则 \(y=y_1(x)+y_2(x)\) 是方程的通解。
- 如果 \(y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)\) 是方程 \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0\) 的 \(n\) 个线性无关的解，那么这个方程的通解为 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)\)。
- 设 \(y^*(x)\) 是二阶非齐次线性方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\) 的一个特解，\(Y(x)\) 对应的齐次方程的一个通解，则 \(y=Y(x)+y^*(x)\) 是二阶非齐次线性微分方程的通解。
- （叠加原理）设非齐次线性方程的右端 \(f(x)\) 是两个函数之和，即 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\) ，而 \(y^*_1(x)\) 和 \(y_2^*(x)\) 分别是方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)\) 和 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)\) 的特解，则 \(y^*_1(x)+y_2^*(x)\) 就是原方程的通解。
9 常系数齐次线性微分方程
- \(y''+py'+qy=0\) ，其中 \(p,q\) 为常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
- 通用解法：将 \(y=e^{rx}\) 求导，有 \(y'=re^{rx},r''=r^2e^{rx}\) ，代入方程得 \(r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0\) ，即 \((r^2+pr+q)e^{rx}=0\) 。由于 \(e^{rx}\ne 0\) ，有 \(r^2+pr+q=0\) ，称其为微分方程的特征方程。
- 若特征方程有两个不相等的实根 \(r_1,r_2\) ，则通解为 \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\) 。
- 若特征方程有两个相等的实根 \(r_1\) ，有一个解 \(y=e^{r_1x}\) ，取另一个解为 \(y=u(x)e^{r_1x}\) ，有 \(y'=(u'+ur_1)e^{r_1x}\) ，\(y''=(u''+2r_1u'+ur_1^2)e^{r_1x}\) ，代入得 \((u''+2r_1u'+ur_1^2+pu'+pur_1+qu)e^{r_1x}=0\) ，即 \(u''+(2r_1+p)u'+(r_1^2+pr_1+q)u=0\) ，考虑 \(r_1\) 为特征方程得解，即有 \(u''=0\) ，取一个不为常数得解 \(u=x\) ，即第二个解为 \(y=xe^{r_1}x\) 。通解为 \(y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\) 。
- 若特征方程有一对共轭复根：\(r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i\) 。利用欧拉公式 \(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\) ，有 \(y_1=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x)\) ，\(y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x-i\sin \beta x)\) 。考虑到两个解得共轭关系，对两个解进行线性运算以得到实部和虚部，\(\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha x}\cos \beta x\) ，\(\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha x}\sin \beta x\) ，同样是方程得解，因此微分方程得通解为 \(y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\) 。
10 常系数非齐次线性微分方程
- 略。
例子
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若函数 \(f(x)\) 满足 \(f''(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0)\) ， \(f(0)=m\) ，\(f'(0)=n\) ，则 \(\int_0^{+\infin}f(x)\text{d}x=(?)\)
解：\(\int_0^{+\infin}f(x)=-(\int_0^{+\infin}[af'(x)+f''(x)])=-([af(x)+f'(x)]|_0^{+\infin})\) ，特征方程 \(k^2+ak+1=0\) ，假设有实根 \(k_1,k_2\) ，则 \(f(x)=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}\) ，$$k_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}$ ，有 \(k_1<0,k_2<0\) 。即 \(f(x)|_{+\infin}=0\) ，\(f'(x)|_{+\infin}=0\) 。即为 \(-(-am-n)=am+n\) 。参考常系数齐次线性方程的解，在只有一个实根或者有两个共轭虚根时，同样如此。
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参见数学题集：微分方程。