关于绝对值函数可导性的总结
\(|f(x)|\)
- 若 \(f(x_0)=0,\,f'(x_0)=0\)时，\(|f(x)|\) 在 \(x=x_0\) 可导；
- 若 \(f(x_0)\neq 0\) 时，\(|f(x)|\) 在 \(x=x_0\) 必可导；
\(\phi(x)=f(x)\cdot|g(x)|\)
- 若\(f(x)\)于\(x=x_0\)可导，\(|g(x)|\)于\(x_0\)连续但是不可导，那么\(\phi(x)=f(x)\cdot|g(x)|\)于\(x=x_0\)可导的充分必要条件为：\(f(x_0)=0\),而且\(\phi'(x)=f'(x)\cdot|g(x)|\)，并且称\(f(x)\)为\(|g(x)|\)于\(x=x_0\)的“磨光函数”。
- 由以上易推得：若\(f(x)\)于\(x=x_0\)连续，那么\(\phi(x)=f(x)\cdot|x-x_0|\)可导的充要条件为：\(f(x_0)=0\).
\(^{[1]}\) 赵红牛.含绝对值函数的可导性讨论[J].高等数学研究,2004,(5):40-50.