拉格朗日乘子法——分析推导：https://blog.csdn.net/hao5335156/article/details/82320082
拉格朗日乘子法：https://blog.csdn.net/qq_33829547/article/details/100152556
带约束条件的极值问题
具体运用
分析推导
拉格朗日乘子法的几何认识
现在，我们来感性地认识一下，为什么拉格朗日认为相切才能找到最低点（只是感性认识，不添加任何数学推导）。
在橙点这个位置，由于两条曲线不相切，所以橙线的梯度（上图橙色箭头）和蓝线的切线（蓝色虚线）肯定不垂直。在这种情况下，蓝线的两个切线方向，必定有一个往函数高处走（与梯度的夹角小于 90 度），有一个往函数低处走（与梯度的夹角大于 90 度）。所以，在两条曲线相交时，我们肯定不在最低点或最高点的位置。
那么，反过来想，如果两条曲线相切（上图），那么在切点这个位置，蓝线的切线和橙线的梯度是垂直的，这个时候，蓝线的切线方向都指向橙线的等高线方向。换句话说，在切点的位置沿蓝线移动很小的一步，都相当于在橙线的等高线上移动，这个时候，可以认为函数值已经趋于稳定了。所以，我们认为这个点的值“可能”是最低（高）的（之后解释为什么是“可能“。另外，个人觉得拉格朗日乘子法最好用反证法从不相切的点入手思考，从相切的点思考总有点别扭）。
既然相切可以帮助我们找到最低点，那么接下来我们要研究的便是如何利用相切来找出最低点。
相切，意味着在切点的位置，两条曲线的等高线方向是平行的，考虑到梯度与等高线垂直， 我们可以用两条曲线的梯度平行来求出切点位置（最低点）。
因此，根据梯度平行，我们能够得到一个方程组：，其中 表示一个标量，因为我们虽然能保证两个梯度平行，但不能保证它们的长度一样（或者方向相同）。在高维函数中， 表示的是函数在各个自变量方向的偏导。对于上面的例子，我们可以求出函数 和 的偏导，再根据方程组：
求出切点。由于总共有三个方程和三个未知数，一般都能找到解（也可能存在多个解或无解的情况，之后会简单讨论）。
在实际求解时，人们会使用一个统一的拉格朗日函数：，令这个函数偏导为 0，我们可以得到：
结果和上面的方程组是一样的。
多个约束条件
多个约束条件和单个约束条件是一样的。如果是多个约束条件，那么这些约束函数肯定是相交的，否则无解。多个约束条件一般会把变量约束到一个更低维的空间，例如，下图中，紫色球面和黄色平面将变量约束到黑色线的位置。
求解过程和单个约束条件是一样的，我们定义一个新的拉格朗日函数：
然后同样令这个函数的导数 ，最后可以得到 个方程以及 个未知数，一般也能求解出来。
总结
根据拉格朗日乘子法的定义，这是一种寻找极值的策略，换句话说，该方法并不能保证找到的一定是最低点或者最高点。事实上，它只是一种寻找极值点的过程，而且，拉格朗日乘子法找到的切点可能不只一个（也就是上面的方程组可能找到多个解），例如下图：
图中相切的点有两个，而红点的函数值明显比黑点小。事实上，要想判断找到的点是极低点还是极高点，我们需要将切点代入原函数再进行判断。