机器学习（ML）三之多层感知机

多层感知机

深度学习主要关注多层模型，现在以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

多层感知机在单层神经网络的基础上引入了一到多个隐藏层（hidden layer）。隐藏层位于输入层和输出层之间。图展示了一个多层感知机的神经网络图。

 

 

模型图所示的多层感知机中，输入和输出个数分别为4和3，中间的隐藏层中包含了5个隐藏单元（hidden unit）。由于输入层不涉及计算，模型图中的多层感知机的层数为2。由模型图可见，隐藏层中的神经元和输入层中各个输入完全连接，输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。因此，多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。

具体来说，给定一个小批量样本X∈ℝ^n×d，其批量大小为n，输入个数为d。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为h。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为H，有H∈ℝ^n×h，因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为W_h∈ℝ^d×h和b_h∈ℝ^1×h，输出层的权重和偏差参数分别W₀∈ℝ^h×q和b₀∈ℝ^1×q

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出的计算为

 

 也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

 从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为W_hW₀,偏差参数为b_hW₀+b。难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。下面我们介绍几个常用的激活函数。

ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素xx，该函数定义为

 

可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。

%matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, nd

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    d2l.plt.plot(x_vals.asnumpy(), y_vals.asnumpy())
    d2l.plt.xlabel('x')
    d2l.plt.ylabel(name + '(x)')

我们接下来通过NDArray提供的relu函数来绘制ReLU函数。可以看到，该激活函数是一个两段线性函数。

x = nd.arange(-8.0, 8.0, 0.1)
x.attach_grad()
with autograd.record():
    y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

 

显然，当输入为负数时，ReLU函数的导数为0；当输入为正数时，ReLU函数的导数为1。尽管输入为0时ReLU函数不可导，但是我们可以取此处的导数为0。下面绘制ReLU函数的导数。

 

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

 

sigmoid函数在早期的神经网络中较为普遍，但它目前逐渐被更简单的ReLU函数取代。在后面“循环神经网络”一章中我们会介绍如何利用它值域在0到1之间这一特性来控制信息在神经网络中的流动。下面绘制了sigmoid函数。当输入接近0时，sigmoid函数接近线性变换。

with autograd.record():
    y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

 

依据链式法则，sigmoid函数的导数

 

下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

tanh函数

 tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

 

绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

with autograd.record():
    y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

 

依据链式法则，tanh函数的导数

 

绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

 

其中ϕ表示激活函数。在分类问题中，我们可以对输出O做softmax运算，并使用softmax回归中的交叉熵损失函数。 在回归问题中，我们将输出层的输出个数设为1，并将输出O直接提供给线性回归中使用的平方损失函数。

代码实现

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# In[1]:


get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
import d2lzh as d2l
from mxnet import nd
from mxnet.gluon import loss as gloss


# In[2]:


#读取数据
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)


# In[3]:


#定义模型参数
#Fashion-MNIST数据集中图像形状为28×28，类别数为10。我们使用长度为28×28=784的向量表示每一张图像。
#因此，输入个数为784，输出个数为10。实验中，我们设超参数隐藏单元个数为256。
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, num_hiddens))
b1 = nd.zeros(num_hiddens)
W2 = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_hiddens, num_outputs))
b2 = nd.zeros(num_outputs)
params = [W1, b1, W2, b2]

for param in params:
    param.attach_grad()


# In[4]:


#定义激活函数
def relu(X):
    return nd.maximum(X, 0)


# In[6]:


#定义模型
def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(nd.dot(X, W1) + b1)
    return nd.dot(H, W2) + b2


# In[8]:


#定义损失函数
loss = gloss.SoftmaxCrossEntropyLoss()


# In[9]:


#训练模型
num_epochs, lr = 5, 0.5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
              params, lr)