快速求斯特林数总结（洛谷模板题解）

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第一类斯特林数·行
第一类斯特林数·列
第二类斯特林数·行
第二类斯特林数·列

求一行第一类斯特林数

由第一类斯特林数的推论，\(x^{\overline{n}}=\sum_i\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\)，分治FFT计算上升幂即可 \(O(nlog^2n)\)。

求一列第一类斯特林数

由第一类斯特林数的定义，\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 是把 \(N\) 个不同的球划分成 \(m\) 个无区别的圆排列的方案数。
而把 \(N\) 个球排成圆排列的方案数的EGF为 \(F(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{(i-1)!}{i!}x^i\)，那么答案的EGF则为 \(\frac{F^m(x)}{m!}\)，多项式快速幂即可。

求一行第二类斯特林数

考虑有 \(n\) 个球，染成 \(c\) 种不同颜色的方案数。

\[c ^ n = \sum_{i = 0} ^ c {c\choose i} * \begin{Bmatrix} n \\i \end{Bmatrix} * i! \]

二项式反演得

\[\begin{Bmatrix} n \\m \end{Bmatrix} * m! = \sum_{i = 0} ^ m (-1)^{m-i} * {m\choose i} * i^n \]

卷积即可 \(O(nlogn)\)。

求一列第二类斯特林数

由第二类斯特林数的定义，\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 是把 \(N\) 个不同的球划分成 \(m\) 个无区别的非空集合的方案数。
而把 \(N\) 个球组成非空集合的方案数的EGF为 \(F(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{x^i}{i!}=e^x-1\)，那么答案的EGF则为 \(\frac{F^m(x)}{m!}\)，多项式快速幂即可。

求一排贝尔数

由贝尔数的定义，\(Bell(n)\) 表示 \(n\) 个不同的球划分成若干个非空集合的方案数。
而把 \(N\) 个球组成非空集合的方案数的EGF为 \(F(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{x^i}{i!}=e^x-1\)，根据集合与划分的关系，那么答案的EGF则为 \(e^{e^x-1}\)，多项式 Exp 即可。