| j=1...n，N个样本 i=1...c，C聚类 |
一、优化函数
FCM算法的数学模型其实是一个条件极值问题：
把上面的条件极值问题转化为无条件的极值问题，这个在数学分析上经常用到的一种方法就是拉格朗日乘数法把条件极值转化为无条件极值问题，
需要引入n个拉格朗日因子，如下所示：
然后对各个变量进行求导，从而得到各个变量的极值点。
二、对聚类质心Ck进行求导
其中，
所以，
其中，所选取的距离dij对质心求解不影响。
三、对隶属度函数Uij进行求导
拉格朗日函数分为两部分，我们需要分别对其进行求导，先算简单的，对后一部分进行求导：
1）后半部分
2）前半部分
对前一部分进行求导就比较复杂和困难了：
3）把两部分放到一起
【转载自】
模糊c均值聚类和k-means聚类的数学原理-大数据学习-51CTO博客 https://blog.51cto.com/9269309/1867818
模糊C均值聚类以及C实现 - 不要问我从哪里来 - CSDN博客 https://blog.csdn.net/einsdrw/article/details/37930331