势能分析（splay分析）

定义

第$x$次操作后，势能为$\phi(x)$，该操作实际复杂度$c(x)$，均摊复杂度$a(x)$。

定义$a(x)=c(x)+\phi(x)-\phi(x-1)$。

那么总复杂度为$\phi(n)-\phi(0)+\sum c(x) $。

简单应用

Q：对于一个初始为0的二进制数，每次+1，求n次操作复杂度。

A：定义$\phi(x)$为$i$次操作后1的个数，对于一次+1 ，1个0->1，x个1->0，那么$a(x)= (1+x) + (1-x)=2$，则总复杂度$o(n)$，常数2。

splay分析

定义x节点的势能为$\chi(x)=log(size(x))$（size表示子树大小）。

那么$\phi(n)-\phi(0) \leq n log(n)$。

双旋分三种情况（y=fa[x]，z=fa[y]）：

1. y为根
2. x,y,z同一条直线
3. x,y,z不为同一条直线

（弄错了不想改...祖孙关系以图为准）

对于1：

\[ c(x)=1+ \chi(x^{'})+\chi(y^{'})-\chi(x)-\chi(y)=1+\chi(y^{'})-\chi(y) \]

对于2：

\[ c(x)=2+\chi(x^{'})+\chi(y^{'})+\chi(z^{'})-\chi(x)-\chi(y)-\chi(z) \]

\[ c(x)=2+\chi(x^{'})+\chi(y^{'})-\chi(y)-\chi(z) \leq 2+\chi(z^{'})+\chi(x^{'})-2\chi(z) \]

而

\[ \chi(x^{'})+\chi(z)-2\chi(z^{'})=log({(size(2+1)+1)\times（size(3+4)+1）\over {(3+size(3+4+2+1))}^2}) \leq log( {1 \over 4})=-2 \]

那么

\(c(x)\leq 2+\chi(z^{'})+\chi(x^{'})-2\chi(z) \leq 3(\chi(z^{'})-\chi(z))\)

对于3：

\[ c(x)=2+\chi(x^{'})+\chi(y^{'})+\chi(z^{'})-\chi(x)-\chi(y)-\chi(z) \]

\[ c(x)=2+\chi(x^{'})+\chi(y^{'})-\chi(y)-\chi(z) \leq 2+\chi(x^{'})+\chi(y^{'})-2\chi(z) \]

而

\[ 2\chi(z^{'})-\chi(x^{'})-\chi(y^{'})=log({(size(1+3+4+2)+3)^2 \over{(size(1+3)+1) \times (size(4+2)+1)}}) \geq 2 \]

故

\[ c(x) \leq 2(\chi(z^{'})-\chi(z)) \]

综上

可以把$(\chi(z^{'})-\chi(z))$的常数都看为3。

一次splay复杂度为$3 (\chi(root)-\chi(z))+1 \leq 3 log(n)+1$。

然后这个还要乘上rotate的常数。

不过在实际应用下，可以认为常数为8。