超定方程组最优解（最小二乘解）推导

一、超定方程组##

超定方程组即为有效方程个数大于未知数个数的方程组。（这里只讨论多元一次的情况）
超定方程组可以写成矩阵的形式：
\begin{equation}
\begin{split}
Ax=b
\end{split}
\end{equation}
其中\(A\)为\(m\times n\)的矩阵，其与\(b\)组成的增广矩阵\([A|b]\)的秩大于\(n\)。\(x\)为\(n\)维列向量未知数。

二、超定方程组的最小二乘解##

超定方程组是无解的，但是我们可以求得其最小二乘解，就是将等式左右两端乘上\(A\)的转置。
\begin{equation}
\begin{split}
A^TAx=A^Tb
\end{split}
\end{equation}
该方程有增广矩阵\([A^TA|A^Tb]\)的秩等于\(n\)，即该方程的未知数的个数等于有效方程的个数，所以该方程有唯一解且为原方程的最小二乘解。
平时记住结论直接用就好

三、推导过程##

（记录，大家不要看：其实小生也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有一天看斯坦福大学的机器学习公开课的第二节，看到了推导过程。）

1.前置结论###

1. \(trAB = trBA\)
2. \(trABC = trBCA = trCAB\)
3. \(\nabla_AtrAB = B^T\)
4. \(trA = trA^T\)
5. \(tra = a\)
   6)\(\nabla_AtrABA^TC = CAB + C^TAB^T\)
   tr代表矩阵的迹，大写字母为矩阵小写字母表示实数，\(\nabla表示求导\)。

2.公式推导###

作差
\begin{equation}
\begin{split}
Ax-b = \left[ \begin{array}{c}
a_1^Tx - b_1 \
\vdots \
a_m^T - b_m
\end{array}
\right ]
\end{split}
\end{equation}

构建最小二乘
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m(a_i^Tx-b_i)^2
\end{split}
\end{equation}

对\(x\)求导
\begin{equation}
\begin{split}
\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x^TA^TAx-x^TA^Tb-b^TAx+b^Tb)
\end{split}
\end{equation}

利用前置结论2)4)5)
\begin{equation}
\begin{split}
\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx^TA^TA-\nabla_xb^TAx-\nabla_xb^TAx]
\end{split}
\end{equation}

其中利用前置结论6)
注：大括号下的A为前置结论中的A，大括号上的A为矩阵A。

\begin{equation}
\nabla_xxx^TA^TA = \nabla_x \cdot \underbrace{x}_A \cdot \underbrace{I}_B
\end{equation}

\begin{equation}
\cdot \underbrace{x^T}_{A^T} \cdot \underbrace{A^TA}_C
\end{equation}

利用前置结论1)3)
\begin{equation}
\begin{split}
\nabla_x\underbrace{b^TA}_B\underbrace{x}_A = A^Tb
\end{split}
\end{equation}

所以就有：
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = A^TAx - A^Tb = 0
\end{split}
\end{equation}

则有：
\begin{equation}
A^TAx = A^Tb
\end{equation}
\begin{equation}
x=(A^TA)^{-1}A^Tb
\end{equation}