树状数组的原理和实现

概念

树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树；它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。

其中a数组就是原数组，c数组则是树状数组，可以发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

原理

lowbit

它通过公式来得出k，其中k就是该值从末尾开始0的个数。然后将其得出的结果加上x自身就可以得出当前节点的父亲节点的位置或者是x减去其结果就可以得出上一个父亲节点的位置。比如当前是6，二进制就是0110，k为2，那么6+2=8，而C(8)则是C(6)的父亲节点的位置；相反，6-2=4，则是C(6)的上一个父亲节点的位置。

def LOWBIT(x):
    return x & (-x)

注意：LOWBIT无法处理0的情况，因为它的结果也是0，那么最终就是一个死循环

单点修改

当我们要对最底层的值进行更新时，那么它相应的父亲节点存储的和也需要进行更新，所以修改的代码如下：

def MODIFY(x, delta):
    if x < 1:
        return
    while x <= n:
        fenwick[x] += delta
        x += LOWBIT(x)

查询

而查询的时候，则需要向前进行统计

def QUERY(x):
    result = 0
    while right > 0:
        result += fenwick[x]
        x -= LOWBIT(x)
    return result

例如

15=(1111)2，通过lowbit分解，它可以变成4个数的和：(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2，然后我们分析这个倒着跳的过程。减去15的最小的2的幂次2^0得到14。减去14的最小的2的幂次2^1得到12。减去12的最小的2的幂次2^2得到8。减去8的最小的2的幂次2^3得到0。

所以C(15) = C(14) + C(12) + C(8) + C(0)，由图也可以得知，其结果是正确的。

除此之外，树状数组能够快速的求任意区间的和，设sum(k) = A[1] + A[2] + ... + A[k]，则A[i] + A[i+1] + ... + A[j] = sum(j) - sum(i-1)。

练习

输入n个位置，然后先按照y的顺序，如果相等则按照x的顺序，最终求该坐标左下的星星的数目，网址，根据题目要求，y已经满足要求，那么只需要考虑x即可，那么我们就可以使用树状数组来计算前面的星星的数目。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int c[32000+10];
int a[15000+10];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void updata(int x,int d)
{
    while(x<=32001)
    {
        c[x]=c[x]+d;
        x=x+lowbit(x);
    }
}
int getsum(int x)
{
    int res = 0;
    while(x>0)
    {
        res=res+c[x];
        x=x-lowbit(x);
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    int i,x,y;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(i=0; i<n; i++)
        {
            //因为y是升序,所以横坐标小于x的，（想了很久）所有点都符合,这是解这道题的关键。
            scanf("%d%d",&x,&y);    //下标可能从0开始，所以要x+1
            a[getsum(x+1)]++;       //求出横坐标小于x的所有stars个数，并记录到a中
            updata(x+1,1);          //更新区间
        }
        for(i=0; i<n; i++)
        {
            printf("%d\n",a[i]);
        }
    }
    return 0;
}

优缺点

树状数组的优点：

1. 代码短小，实现简单；
2. 容易扩展到高纬度的数据；

缺点：

1. 只能用于求和，不能求最大／小值；
2. 不能动态插入；
3. 数据多时，空间压力大；