一、这个专题有什么用
练练DP
练练组合数学
......
二、正题
此类问题有如下几种形态：
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
1:将n划分成若干正整数的划分数
(1):划分数可以存在相同的数
那么，设dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
则划分数可以分为两种情况:
a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1]
b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m]
总递推式：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]
(2):划分数不可以存在相同的数
若还是设成同样的状态，从（1）可以看出，a条件是不会改变的，而b条件中，n-m后由于不存在重复，则划分数变为dp[n-m][m-1]
总递推式：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]
2:将n划分成k个正整数的划分数
设dp[i][k]为，把i分成k分的划分法
那么也有两种情况：
a.n份中不包括1的情况，那么每份中都可以拿出1来，即为dp[i-k][k]
b.n份中起码有1个1的情况，那么把这个1去掉，变为dp[i-1][k-1]
总递推式：dp[i][k]=dp[i-k][k]+dp[i-1][k-1]
3:将n划分成若干奇数的划分数
设g[i][j]:将i划分成j个偶数
f[i][j]:将i划分成j个奇数
对于偶数来讲，为f[i-j][j]中的共j个数，每个加1，则变成偶数。
对于奇数来讲，为g[i-j][j]中的共j个数，每个加1，则变成奇数；且还有新加入的1，则为f[i-1][j-1]
所以递推式为：g[i][j]=f[i-j][j] , f[i][j]=f[i-1][j-1]
可以看一看HitOJ1402的代码：
1 /* 2 * hit1402.c 3 * 4 * Created on: 2011-10-11 5 * Author: bjfuwangzhu 6 */ 7 8 #include<stdio.h> 9 #include<string.h> 10 #define nmax 51 11 int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数 12 int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数 13 int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数 14 int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数 15 int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数 16 void init() { 17 int i, j; 18 for (i = 0; i < nmax; i++) { 19 num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] = 20 0, num2[0][i] = 0; 21 } 22 for (i = 1; i < nmax; i++) { 23 for (j = 1; j < nmax; j++) { 24 if (i < j) { 25 num[i][j] = num[i][i]; 26 num1[i][j] = num1[i][i]; 27 num2[i][j] = 0; 28 } else if (i == j) { 29 num[i][j] = num[i][j - 1] + 1; 30 num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1; 31 num2[i][j] = 1; 32 33 } else { 34 num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j]; 35 num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1]; 36 num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j]; 37 } 38 } 39 } 40 f[0][0] = 1, g[0][0] = 1; 41 for (i = 1; i < nmax; i++) { 42 for (j = 1; j <= i; j++) { 43 g[i][j] = f[i - j][j]; 44 f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j]; 45 } 46 } 47 } 48 int main() { 49 #ifndef ONLINE_JUDGE 50 freopen("data.in", "r", stdin); 51 #endif 52 int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4; 53 init(); 54 while (~scanf("%d %d", &n, &k)) { 55 res0 = num[n][n]; 56 res1 = num2[n][k]; 57 res2 = num[n][k]; 58 for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) { 59 res3 += f[n][i]; 60 } 61 res4 = num1[n][n]; 62 printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4); 63 } 64 return 0; 65 }
4.将正整数划分成连续的正整数之和
eg:15可以划分成4种连续整数相加的形式
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5
首先考虑一般形式，设n为被划分的正整数，x为划分后的最小整数，如果n有一种m划分，那么数列为
x,x+1,x+2....x+m-1
而其结果的公式为( x * i + i * ( i + 1 ) / 2 )
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。
这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？
有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足
这个公式时n才可能被划分。
代码如下
1 void split(int n) { 2 int i, j, te, x, xlen; 3 for (i = 1, xlen = 0; (te = i * (i - 1) / 2) < n; i++) { 4 x = n - te; 5 if (x % i == 0) { 6 x /= i; 7 printf("%d", x); 8 for (j = 1; j < i; j++) { 9 printf("%d ", x + j); 10 } 11 printf("\n"); 12 xlen++; 13 } 14 } 15 printf("%d\n", xlen); 16 }
5.求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积
问题简述：
给定一个正整数n, 则在n所有的划分中, 求因子乘积最大的一个划分及此乘积。例如：8 = {8}, {7, 1}, {6, 2}, {5, 3}, {4, 4}, {3, 3, 2}, {2, 2, 2, 2} 等，那么在这些当中，3 * 3 * 2 的乘积最大，所以输出整个划分和这个乘积 18。
算法分析：
这是我在某个论坛上看到的问题，以及别人针对此问题的数学分析，现简单的整理如下：
(1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1*m2 >= m
证: 令m1 = int(m/2), 则 m1 >= 2 ， m2 = m-m1; 那么m2 > 2，并且 m2 >= m/2 >= m1; m1*m2 >= 2*m2 >= m; 证毕;
该证明简单的来说就是：对于一个大于等于4的正整数m，存在一个2块划分的因子，这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。
(2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r * 3^s。现证明 r <= 2;
证：若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而2*2*2 < 3*3;
所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3；积更大；证毕。
综合(1)，(2)，则有：任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为2*2。
所以：此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2，因此：
A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2
剩下编程处理，那就是太简单了，首先是处理 <= 4的特殊情况，再对>4的情况进行模3的3种情况的判断，最后一一输出。
可见，数学在整数划分问题上有太强的功能。谁叫这个问题叫整数划分呢，不与数学密切才怪! ^_^。
6.从小学奥数的整数划分得到的有用结论
例1：把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？
解：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先，分成的数中不能有1，这是显然的。
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值 3×3×3×3×2=162。
将上述结论推广为一般情形便是：
把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和： S=a1+a2+…+an，则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。
例2：把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。
若1作因数，则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。
若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。
若和比1993大k（k≠1），则去掉等于k的那个数，便可使乘积最大。
所以n=63。因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成（2+3+…+21）+（23+24+…+63）这一形式时，
这些数的乘积最大，其积为 2×3×…×21×23×24×…×63。
以上内容转自 qingyezhu的cnblogs 并加以改编