SMO算法（转）

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SMO(Sequential Minimal Optimization)是针对求解SVM问题的Lagrange对偶问题，一个二次规划式，开发的高效算法。传统的二次规划算法的计算开销正比于训练集的规模，而SMO基于问题本身的特性（KKT条件约束）对这个特殊的二次规划问题的求解过程进行优化。对偶问题中我们最后求解的变量只有Lagrange乘子 ${\vec \alpha }$ 向量，这个算法的基本思想就是每次都只选取一对 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$ ，固定 ${\vec \alpha }$ 向量其他维度的元素的值，然后进行优化，直至收敛。

SMO干了什么？
首先，整个对偶问题的二次规划表达如下：
$\begin{align} \mathop {\max }\limits_{\vec \alpha } & \quad \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} - \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{\alpha _i}{\alpha _j}{y_i}{y_j}{\bf{x}}_i^T{{\bf{x}}_j}} } \\ s.t.& \quad \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}{y_i}} = 0 \\ & \quad {\alpha _i} \ge 0, \quad i = 1,2, \ldots ,n \end{align}$
SMO在整个二次规划的过程中也没干别的，总共干了两件事：

选取一对参数 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$
固定 ${\vec \alpha }$ 向量的其他参数，将 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$ 代入上述表达式进行求最优解获得更新后的 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$

SMO不断执行这两个步骤直至收敛。

因为有约束 $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}{y_i}} = 0$ 存在，实际上 ${{\alpha _i}}$ 和 ${{\alpha _j}}$ 的关系也可以确定。 ${\alpha _i}{y_i} + {\alpha _j}{y_j} = C$ 这两个参数的和或者差是一个常数。

所以虽然宣传上说是选择了一对 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$ ，但还是选择了其中一个，将另一个写作关于它的表达式代入目标函数求解。

为什么SMO跑的那么快，比提出之前的算法不知道高到哪里去了？
正如上面提到的，在固定其他参数以后，这就是一个单变量二次规划问题，仅有的约束也是这个变量 $\alpha _i \ge 0$ ，显然有闭式解。不必再调用数值优化算法。

KKT条件是对偶问题最优解的必要条件：
$\begin{cases} {{\alpha _i} \ge 0}\\ {{y_i}f\left( {{{\bf{x}}_i}} \right) - 1 \ge 0}\\ {{\alpha _i}\left( {{y_i}f\left( {{{\bf{x}}_i}} \right) - 1} \right) = 0} \end{cases}$

除了第一个非负约束以外，其他约束都是根据目标函数推导得到的最优解必须满足的条件，如果违背了这些条件，那得到的解必然不是最优的，目标函数的值会减小。

所以在SMO迭代的两个步骤中，只要 $\left( {{\alpha _i},{\alpha _j}} \right)$ 中有一个违背了KKT条件，这一轮迭代完成后，目标函数的值必然会增大。Generally speaking，KKT条件违背的程度越大，迭代后的优化效果越明显，增幅越大。

怎样跑的更快？
和梯度下降类似，我们要找到使之优化程度最大的方向（变量）进行优化。所以SMO先选取违背KKT条件程度最大的变量，那么第二个变量应该选择使目标函数值增大最快的变量，但是这个变量怎么找呢？比较各变量优化后对应的目标函数值的变化幅度？这个样子是不行的，复杂度太高了。

SMO使用了一个启发式的方法，当确定了第一个变量后，选择使两个变量对应样本之间最大的变量作为第二个变量。直观来说，更新两个差别很大的变量，比起相似的变量，会带给目标函数更大的变化。间隔的定义也可以借用偏差函数
${E_i} = \max \left( {{y_i}f\left( {{{\bf{x}}_i}} \right) - 1,0} \right)$
我们要找的也就是使对于 $\alpha_i$ 来说使 $\left| {{E_i} - {E_j}} \right|$ 最大的 $\alpha_j$

很惭愧，只做了一点微小的工作。

References
[1] Platt, John. "Sequential minimal optimization: A fast algorithm for training support vector machines." (1998).

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