限制性等距條件

限制性等距條件（Restricted Isometry Property, RIP），又稱有限等距性質、約束等距性、有限等距性，作為壓縮感知理論中的重要概念，描述了測量矩陣性質與稀疏信號恢復性能之間的關系。

數學定義

基本定義

對於矩陣\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整數\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若存在常數\({\delta}_{k}{\;\in\;}(0,1)\)，使得對任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，均有

\[\begin{equation*} (1-{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} {\;\leq\;} \| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} {\;\leq\;} (1+{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} \end{equation*} \]

成立，則稱矩陣\(\mathbf{A}\)滿足具有限制性等距常數\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距條件。

等價定義：矩陣范數

對於矩陣\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整數\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若任意\(k\)列組成的子矩陣\(\mathbf{A}_{k}\)滿足\(\| \mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I} \|_{2{\rightarrow}2}{\;\leq\;}{\delta}_{k}\)，則稱矩陣\(\mathbf{A}\)滿足具有限制性等距常數\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距條件。
證明：根據原始定義，對於矩陣\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整數\(k{\;\in\;}[1, p]\)，存在常數\({\delta}_{k}{\;\in\;}(0,1)\)，使得對任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，條件\((1-{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} {\;\leq\;} \| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} {\;\leq\;} (1+{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2}\) 與\(| \| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} - \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} | {\;\leq\;} {\delta}_{k} \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}\)等價。又有

\[\begin{align*} \| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} - \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} &= <\mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}>-<\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \\ &= <\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}>-<\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \\ &=<(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I})\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \end{align*} \]

由於\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I}\)為Hermitian矩陣，根據瑞利商的定義，可以得到

\[\begin{equation*} \max_{\mathbf{x}_{k}{\neq}\mathbf{0}}\frac{<(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I})\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}>}{\|\mathbf{x}_{k}\|_{2}^{2}}=\|\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I}\|_{2{\rightarrow}2}{\;\leq\;}{\delta}_{k} \end{equation*} \]

等價定義：矩陣特征值

對於矩陣\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整數\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若任意\(k\)列組成的子矩陣\(\mathbf{A}_{k}\)滿足\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\)的特征值均在\([1-{\delta}_{k}, 1+{\delta}_{k}]\)之間，則稱矩陣\(\mathbf{A}\)滿足具有限制性等距常數\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距條件。
證明：由於\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\)為Hermitian矩陣，根據瑞利商的定義，有

\[\begin{equation*} \frac{\| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}}{\| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}}{\;\in\;}[{\lambda}_{\min}, {\lambda}_{\max}]{\;\subset\;}[1-{\delta}_{k}, 1+{\delta}_{k}] \end{equation*} \]

（由瑞利商得到的界是緊的）。

相關性質

限制性等距常數

1. 當限制性等距常數\({\delta}_{k}{\rightarrow}0\)時，有\(\| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} = \| \mathbf{x} \|_{2}^{2}\)，即對於任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，矩陣\(\mathbf{A}\)均表現為正交矩陣的性質。因此，矩陣的約束等距常數實際上可以評價該矩陣的非正交程度。
2. 另外，限制性等距常數隨\(k\)單調不減，即當稀疏等級增加時，測量矩陣不會具備更好的正交條件。

與其他參數關系

1. 限制性等距條件與稀疏向量恢復的關系：對於\(k-\)稀疏向量的恢復，需要考察測量矩陣的\(2k-\)限制性等距條件。若測量矩陣滿足\(2k-\)限制性等距條件，則當\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)和\(\mathbf{x}^{'}\)滿足\(\| \mathbf{x} - \mathbf{x}^{'} \|_{2}^{2}{\;\neq\;}0\)時，測量矩陣映射后的結果之差滿足\(\| \mathbf{A}(\mathbf{x} - \mathbf{x}^{'}) \|_{2}^{2}{\;\neq\;}0\)。即對於不同的\(k-\)稀疏向量，滿足\(2k-\)限制性等距條件的測量矩陣可以將它們映射到不同的測量結果上，是稀疏信號無歧義恢復的前提。
2. 限制性等距條件與矩陣Spark的關系：若測量矩陣滿足\(k-\)限制性等距條件，說明矩陣中任意\(k\)列近似正交，即線性無關。此時，測量矩陣的Spark參數至少為\(k+1\)。