幾個和協方差特征值有關的算法

協方差矩陣的意義： 
方差是變量減均值的期望，兩個變量的協方差是變量一減均值，乘以，變量二減均值，的期望。協方差矩陣，就是多個變量兩兩間協方差值，按順序排成的矩陣。協方差的意義是，衡量兩個變量偏差變化趨勢是否一致，除以兩變量標准差之積以標准化，即相關系數

協方差矩陣特征值的幾何意義

 

協方差矩陣求三維點集的直線方程和平面方程：

設三維點集為  {  },

將點集寫成矩陣的形式：

計算點集的中心：  。

沒個點減去其中心后得到的點集（矩陣形式）：

計算協方差矩陣  ，注意這是一個對稱矩陣，所以它的特征向量是單位向量，且相互正交。

求協方差矩陣的特征值：  ，其中  如下：

求出的協方差矩陣的最大的特征值對應的特征向量就是這些點擬合成的直線的方向，那么為什么是這樣呢？

簡單的公式推導：

在上述求特征值的公式  左右同時乘以  得到下式：

 ，即有  。也就是說求出的特征值和特征向量也是滿足這個等式的；我們求出的特征向量是單位向量，此時有  ；

 中每個元素的值就是每個點向量在特征向量上的投影值，例如下圖中p1點在向量x上的投影（紅色），故  就表示所有點在特征向量x上投影的平方和；

 

 

最大特征值對應的特征向量就是這些點向量投影平方和最大的方向，這些點當然是在自己擬合出來的直線的方向上的投影平方和最大。

前兩個特征值向量構成的平面就是這些點擬合出來的平面或者說最小的特征值對應的特征向量就是擬合平面的法向量；

當然這種方法其實就是最小二乘法，離群點對最終的直線、平面擬合結果影響很大；

所以我們在計算出了特征值后都回對特征值進行判斷（例如：對於直線擬合，我們需要最大的特征值是第二大特征值5-10倍以上；對於平面擬合，我們需要前兩個特征值是第三個的5-10倍以上，具體多少倍視問題所需要的精度而定）；

 

ISS

ISS算法的全程是Intrinsic Shape Signatures。

ISS特征點檢測的思想也甚是簡單，簡單來說就是主成分分析法在局部坐標系下的使用：

1.建立關鍵點的局部坐標系；

2.求關鍵點與領域點的協方差矩陣；

3.利用協方差矩陣的特征值之間關系來形容該點的特征程度。

顯然這種情況下的特征值是有幾何意義的，特征值的大小實際上是橢球軸的長度。橢球的的形態則是對鄰近點分布狀態的抽象總結。試想，如果臨近點沿某個方向分布致密則該方向會作為橢球的第一主方向，稀疏的方向則是第二主方向，法線方向當然是極度稀疏（只有一層），那么則作為第三主方向。

如果某個點恰好處於角點，則第一主特征值，第二主特征值，第三主特征值大小相差不會太大。

如果點雲沿着某方向致密，而垂直方向系數則有可能是邊界。

總而言之，這種局部坐標系建模分析的方法是基於特征值分析的特征點提取。
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