看過電影《三傻大鬧寶萊塢》的朋友都知道,在印度,人們通常認為,一流學生上印度理工學院,二流的學生才選擇國外著名大學.因此,幾乎所有的印度學生都將印度理工學院視為自己理想學府,並為之而奮斗.在印度的高等教育系統中,印度理工學院擁有自己獨立的管理系統,其入學考試也區別於一般的大學入學考試,他們通過理工學院聯合入學考試JEE (Joint Entrance Examination)來招收學生. JEE被譽為“世界上最可信的和最具競爭性的入學考試之一”,為各印度理工學院招收了大量高素質學生.每年約有 20 萬考生報名參加該考試,而錄取率僅為2%左右.
其初試名為“JEE Main”,每年舉行兩次.學生可以參加兩次考試,取其中最高的成績,在JEE Main中名列前茅的考生可參加JEE Advanced (聯合入學考試復試).
JEE Advanced (以前稱為IIT-JEE)是JEE考試的第二輪,通常在JEE Main考試之后進行,通常由印度理工學院七個不同的校區輪流舉行.
JEE Main所有試題均為單選題,線上進行測試.
**2021年JEE Main 8月考試數學試題**
考試日期: 2021年8月26日
時間:上午9:00-12:00
1.若$$\displaystyle f\left( x \right) =\cos \left( 2\mathrm{arc}\tan \left( \sin \left( \mathrm{arc}\cot \sqrt{\frac{1-x}{x}} \right) \right) \right),$$
則
(A) $\left( 1-x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) -2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(B) $\left( 1-x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) +2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(C) $\left( 1+x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) -2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(D) $\left( 1+x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) +2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
2.如果允許重復,使用數字$0,1,3,4,6,7$可以得到多少個三位數?
3.一個點到$(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)$這四點距離的平方和是$18$,其軌跡是一個圓.如果$d$是此圓的直徑,求$d^2$.
4.若$\ln(x+y)=4xy$,求$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$在$x=0$處的取值.
5.設橢圓$\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$的離心率為$e$,求$5-e^2$.
6.在醫院里, $89\%$的患者患有$A$型疾病, $98\%$的患者患有$B$型疾病, $K\%$的患者同時患有這兩種疾病,求$K$的最大可能值和最小可能值之和.
7.已知$P(A)=p,P(B)=2p,P(\text{$A$和$B$中恰有一個發生})=\frac{5}{9}$.求$p$的最大可能值.
8.求$$\displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left[ \left( \frac{1-x}{1+x} \right) ^2+\left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^2-2 \right] dx}.$$
9.求方程$\displaystyle\frac{\cos x}{1+\sin x}=|\tan x|$在$[0,2\pi]$內解的個數.
10.若$A,AR,AR^2,AR^3,\cdots$這無窮多項的和為$15$,這些項的平方和為$150$,求$AR^2,AR^4,AR^6,\cdots$的和.
11.若復平面上$\displaystyle\arg\left( \frac{z-1}{z+1} \right) =\frac{\pi}{4}$,求平面直角坐標系下此圓的標准方程.
12.一根36個單位長的金屬絲被切割成兩部分,分別彎曲形成一個邊長為$x$個單位的正方形的和半徑為$r$個單位的圓.如果由此形成的正方形和圓的面積之和最小,求此時圓的周長.
13.求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}
\sum_{r=0}^{2n-1}\frac{n^2}{n^2+4r^2}$.
14.若$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3,\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+
\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=
\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$,求混合積$[\overrightarrow{a}\ \overrightarrow{b}\ \overrightarrow{c}]$.
15.求$\displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\left( \frac{1-x}{1+x} \right) ^2+\left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^2-2}dx}$.
16.求$\displaystyle\sum_{r=0}^{20}r^2C_{20}^r$.
17.求解$(1+y)\tan^2x+\tan x\cdot y'+y=0$.
18.若$$\displaystyle y=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{2^2}{1+x^4}+\cdots+
\frac{2^{100}}{1+x^{2^{100}}},$$
求$y$在$x=2$處的值.
**2021年JEE Main 8月考試數學試題2**
考試日期: 2021年8月27日
時間:上午9:00-12:00
1.若$$\displaystyle U\left( n \right) =\left( 1+\frac{1^2}{n^2} \right) \left( 1+\frac{2^2}{n^2} \right) ^2\left( 1+\frac{3^2}{n^2} \right) ^3\cdots \left( 1+\frac{n^2}{n^2} \right) ^n,$$
求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[ U\left( n \right) \right] ^{-\frac{4}{n^2}}$.
2.若$ 0 <x<1$,求$\displaystyle\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{3}x^3+\frac{7}{4}x^4+\cdots$的和函數.
3.求$\displaystyle\sum_{n=0}^{20}{\left( C_{20}^{n} \right) ^2}$.
4.若橢圓$\displaystyle\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{4a^2}=1\ (a,b>0)$上的切線與坐標軸圍成三角形面積的最小值為$Kab$,求$K$的值.
5.若線性方程組$2x-y-z=3,x+y-2z=\alpha,3x+3y-\beta z=3$有無窮多組解,求$\alpha+\beta-\alpha\beta$的值.
6. $\displaystyle\int_6^{16}{\frac{\ln x^2}{\ln x^2+\ln \left( x^2-44x+484 \right)}dx}$的值為
(A) $5$
(B) $8$
(C) $6$
(D) $10$
7.長度為$20$的金屬絲被分割成兩部分,一部分制成邊長為$a$的正六邊形,另一部分則制成正方形.如果正方形和正六邊形面積之和最小,求$a$.
8.若圓的方程為$x^2+y^2+px+y(1-p)=0$,半徑$r\in (0,5],q=p^2$,則滿足條件的整數對$(p,q)$的個數為
(A) $16$
(B) $14$
(C) $19$
(D) $21$
9.在某個有偏差的骰子中,獲得某特定正面的概率為$\displaystyle\left( \frac{1}{6}+x \right)$,反面概率為$\displaystyle\left( \frac{1}{6}-x \right)$且$0 < x<\frac{1}{6}$.獲得其他各面的概率是$\frac{1}{6}$.骰子中兩對立面的總和均為$7$.如果擲$2$次骰子得到和為$7$的概率是$\displaystyle\frac{13}{96}$,則$x$為
(A) $\frac{1}{8}$
(B) $\frac{1}{12}$
(C) $\frac{1}{18}$
(D) $\frac{1}{20}$
10.若$y(0)=7$且$\displaystyle\frac{dy}{dx}=2(y-2\sin x-10)x+2\cos x$,求$y(\pi)$.
11.若$\alpha,\beta$為方程$x^2+bx+c=0$的兩個不同的根,求
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \beta}\frac{e^{2\left( x^2+bx+c \right)}-1-2\left( x^2+bx+c \right)}{\left( x-\beta \right) ^2}$.
12.若$\displaystyle\frac{z+i}{z+2i}$為實數,則$z$的軌跡為
(A) $x$軸
(B) $y$軸
(C) $y=x$
(D) $y=\frac{x}{2}$
13.拋物線在點$P(2,-4)$處的切線和法線分別與准線交於$A,B$兩點. $Q(a,b)$滿足四邊形$APBQ$為正方形.求$2a+b$
(A) $-12$
(B) $-16$
(C) $-20$
(D) $-18$
14.若$\displaystyle y=\lg x+\lg x^{\frac{1}{3}}+\lg x^{\frac{1}{9}}+\cdots$且$\displaystyle\frac{2+4+6+\cdots+2y}{3+6+9+\cdots+3y}
=\frac{1}{9}\lg x$,則$x$和$y$的值為
(A) $x=10^5,y=8$
(B) $x=10^6,y=9$
(C) $x=10^6,y=8$
(D) $x=10^5,y=9$
15.在$\triangle ABC$中,若$\displaystyle\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin (A-B)}{\sin (A-C)}$, $a,b,c$為$\triangle ABC$的三邊,則$a,b,c$滿足的關系式為
(A) $c^2\left( a^2+b^2 \right) =a^2\left( c^2-b^2 \right)$
(B) $a^2\left( b^2-c^2 \right) =b^2\left( a^2-c^2 \right)$
(C) $ac\left( a^2-c^2 \right) =b^2\left( a^2-b^2 \right)$
(D) $bc\left( a^2-c^2 \right) =a^2\left( b^2-c^2 \right)$
16.已知平面方程為$x-y+z=5$,直線的方向向量為$(2,3,-6)$,則點$P(1,3,5)$沿着此直線到給定平面的距離為
(A) $2$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $3$
(D) $3\sqrt{2}$
17.對於$0< x<1$有$(\arcsin x)^2-(\arccos x)^2=a$.求$2x^2-1$
(A) $\displaystyle\sin \left( \frac{2a}{\pi} \right)$
(B) $\displaystyle\cos \left( \frac{4a}{\pi} \right)$
(C) $\displaystyle\cos \left( \frac{2a}{\pi} \right)$
(D) $\displaystyle\sin \left( \frac{4a}{\pi} \right)$
18.若$(-2,2)$滿足$\displaystyle y+x\frac{dy}{dx}=x^2$,則
(A) $x^2+2xy+12=0$
(B) $x^2+2xy-12=0$
(C) $x^2+2xy+4=0$
(D) $x^3-3xy-4=0$
19. $\displaystyle\int{\frac{1}{\left( x^2+x+1 \right) ^2}dx}=$
(A) $\displaystyle\frac{4}{\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) +\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{2x-1}{x^2+x+1} \right) +C$
(B) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) -\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{2x-1}{x^2+x+1} \right) +C$
(C) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+\frac{1}{3}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} \right) +C$
(D) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)-\frac{1}{3}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} \right) +C$
**2021年JEE (ADVANCED)數學試題一**
**第一部分**
本部分包含四個問題.
每個問題有四個選項(A), (B), (C)和(D).這四個選項中只有一個是正確答案.
對於每個問題,選擇與正確答案相對應的選項.
每個問題的回答將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果選擇了正確的選項,加3分;
零分:如果沒有選擇任何選項(即問題未回答), 0分;
負分:其它情況,減1分.
1.考慮三角形$\Delta$,它的兩邊位於$x$軸和直線$x+y+1=0$.如果$\Delta$的垂心是$(1,1)$,則經過三角形$\Delta$三個頂點的圓的方程為
(A) $x^2+y^2-3x+y=0$
(B) $x^2+y^2+x+3y=0$
(C) $x^2+y^2+2y-1=0$
(D) $x^2+y^2+x+y=0$
2.區域
$$
\left\{ \left( x,y \right) :0\leqslant x\leqslant \frac{9}{4},0\leqslant y\leqslant 1,x\geqslant 3y,x+y\geqslant 2 \right\}
$$
的面積為
(A) $\frac{11}{32}$
(B) $\frac{35}{96}$
(C) $\frac{37}{96}$
(D) $\frac{13}{32}$
3.考慮三個集合$E_1=\{1,2,3\},F_1=\{1,3,4\}$和$G_1=\{2,3,4,5\}$.從集合$E_1$中不放回地隨機選取兩個元素,用$S_1$表示這些所選元素的集合.設$E_2=E_1-S_1$和$F_2=F_1\cup S_1$.現在從集合$F_2$中不放回地隨機選取兩個元素,用$S_2$表示這些所選元素的集合.
設$G_2=G_1\cup S_2$.最后,從集合$G_2$中不放回地隨機選擇兩個元素,用$S_3$表示這些所選元素的集合.
設$E_3=E_2\cup S_3$.已知$E_1=E_3$,設$p$為事件$S_1=\{1,2\}$的條件概率.則$p$的值為
(A) $\frac{1}{5}$
(B) $\frac{3}{5}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{5}$
4.設$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{10}$為正值角度(弧度制)使得$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_{10}=2\pi$.對於$k=2,3,\cdots,10$,定義復數$z_1=e^{i\theta_1},z_k=z_{k-1}e^{i\theta_k}$,其中$i=\sqrt{-1}$.考慮下列命題$P$和$Q$:
$$\begin{aligned}
&P:\left| z_2-z_1 \right|+\left| z_3-z_2 \right|+\cdots +\left| z_{10}-z_9 \right|+\left| z_1-z_{10} \right|\leqslant 2\pi ,
\\
&Q:\left| z_{2}^{2}-z_{1}^{2} \right|+\left| z_{3}^{2}-z_{2}^{2} \right|+\cdots +\left| z_{10}^{2}-z_{9}^{2} \right|+\left| z_{1}^{2}-z_{10}^{2} \right|\leqslant 4\pi.
\end{aligned}$$
則
(A) $P$正確, $Q$錯誤
(B) $Q$正確, $P$錯誤
(C) $P$和$Q$都正確
(D) $P$和$Q$都錯誤
**第二部分**
本部分包含三個題干.
每個題干對應兩個問題.
每個問題的答案都是一個**數值**.
對於每個問題,使用鼠標和屏幕上的虛擬數字鍵盤在指定位置輸入與答案對應的正確數值.
如果數值的小數位數超過兩位,請將數值**截斷或四舍五入**到兩位小數.
每個問題的答案將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果在指定位置只輸入了正確的數值,加2分;
零分:所有其它情況, 0分.
**問題5和6的題干**
**題干**
從集合$S=\{1,2,3,\cdots,100\}$中可放回地隨機選擇三個數字.
設$p_1$為所選數的最大值至少為$81$的概率, $p_2$為所選數的最小值最多為$40$的概率.
5. $\frac{625}{4}p_1$的值為?
6. $\frac{125}{4}p_2$的值為?
**問題7和8的題干**
**題干**
設$\alpha,\beta$和$\gamma$為實數使得線性方程組
$$\begin{aligned}
x+2y+3z=\alpha,\\
4x+5y+6z=\beta,\\
7x+8y+9z=\gamma-1
\end{aligned}$$
有解.設$|M|$表示矩陣$M=\left[ \begin{matrix}
\alpha& 2& \gamma\\
\beta& 1& 0\\
-1& 0& 1\\
\end{matrix} \right]$的行列式.設$P$為包含所有這些$(\alpha,\beta,\gamma)$點的平面,使得上述線性方程組有解,且$D$為點$(0,1,0)$到平面$P$距離的平方.
7. $|M|$的值為?
8. $D$的值為?
**問題9和10的題干**
**題干**
考慮直線$L_1$和$L_2$,定義為
$$L_1:x\sqrt{2}+y-1=0\quad \text{和}\quad L_2:x\sqrt{2}-y+1=0.$$
對於定值$\lambda$,設$C$為點$P$的軌跡,使得$P$到$L_1$的距離和$P$到$L_2$的距離的乘積為$\lambda^2$.直線$y=2x+1$與$C$交於兩點$R$和$S$,其中$R$和$S$兩點間的距離為$\sqrt{270}$.
設$RS$的垂直平分線與$C$交於不同兩點$R'$和$S'$.設$D$為$R'$和$S'$兩點間距離的平方.
9. $\lambda^2$的值為?
10. $D$的值為?
**第三部分**
本部分包含六個問題.
每個問題有四個選項(A), (B), (C)和(D).這四個選項中的**一個或多個**是正確答案.
對於每個問題,選擇正確答案對應的選項.
每個問題的答案將根據以下評分方案進行評分:
滿分:選擇了正確的選項,加4分;
部分分:如果四個選項都正確,但只選擇了三個選項,加3分;
部分分:如果三個或更多選項正確,但只選擇了兩個選項,這兩個選項都正確,加2分;
部分分:如果兩個或更多選項正確,但只選擇了一個選項,並且該選項正確,加1分;
零分:如果未回答,得 0分;
負分:其它情況,減2分.
例如,在一個問題中,如果只有(A) (B)和(D)是與正確答案相對應的三個選項,那么
僅選擇(A) (B)和(D)將獲得$+4$分;
僅選擇(A)和(B)將獲得$+2$分;
僅選擇(A)和(D)將獲得$+2$分;
僅選擇(B)和(D)將獲得$+2$分;
僅選擇(A)將獲得$+1$分;
僅選擇(B)將獲得$+1$分;
僅選擇(D)將獲得$+1$分;
不選擇(即問題未回答)將得到$0$分,
選擇任何其他選項將獲得$-2$分.
11.對於任意$3\times 3$矩陣$M$,設$|M|$表示$M$的行列式.設
$E=\left[ \begin{matrix}
1& 2& 3\\
2& 3& 4\\
8& 13& 18\\
\end{matrix} \right] ,P=\left[ \begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
\end{matrix} \right]$和$F=\left[ \begin{matrix}
1& 3& 2\\
8& 18& 13\\
2& 4& 3\\
\end{matrix} \right]$.
若$Q$為$3\times 3$非奇異矩陣,則以下哪些命題是正確的?
(A) $F=PEP$且$P^2=\left[ \begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1\\
\end{matrix} \right]$
(B) $\left| EQ+PFQ^{-1} \right|=\left| EQ \right|+\left| PFQ^{-1} \right|$
(C) $\left| \left( EF \right) ^3 \right|>\left| EF \right|^2$
(D) $P^{-1}EP+F$對角線元素的和等於$E+P^{-1}FP$對角線元素的和
12.設$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$定義為
$$f(x)=\frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}.$$
則以下哪些命題是正確的?
(A) $f$在區間$(-2,-1)$上遞減
(B) $f$在區間$(1,2)$上遞增
(C) $f$是滿射
(D) $f$的值域為$\displaystyle\left[ -\frac{3}{2},2 \right]$
13.設$E,F$和$G$為三個事件,具有概率$\displaystyle P(E)=\frac{1}{8},P(F)=\frac{1}{6}$和$\displaystyle P(G)=\frac{1}{4}$,且$\displaystyle P(E\cap F\cap G)=\frac{1}{10}$.對任一事件$H$,若$H^c$表示它的對立事件,則以下哪些命題是正確的?
(A) $\displaystyle P\left( E\cap F\cap G^c \right) \leqslant \frac{1}{40}$
(B) $\displaystyle P\left( E^c\cap F\cap G \right) \leqslant \frac{1}{15}$
(C) $\displaystyle P\left( E\cup F\cup G \right) \leqslant \frac{13}{24}$
(D) $\displaystyle P\left( E^c\cap F^c\cap G^c \right) \leqslant \frac{5}{12}$
14.對於任意$3\times 3$矩陣$M$,設$|M|$表示$M$的行列式.設$I$為$3\times 3$單位矩陣.設$E$和$F$為兩個$3\times 3$矩陣,使得$I-EF$可逆.若$G=(I-EF)^{-1}$,則以下哪些命題是正確的?
(A) $|FE|=|I-FE|\cdot |FGE|$
(B) $(I-FE)(I+FGE)=I$
(C) $EFG=GEF$
(D) $(I-FE)(I-FGE)=I$
15.對於任意正整數$n$,設$S_n:(0,\infty)\to \mathbb{R}$定義為
$$
S_n\left( x \right) =\sum_{k=1}^n{\mathrm{arccot} \left( \frac{1+k\left( k+1 \right) x^2}{x} \right)},
$$
其中對任意$x\in \mathbb{R}$, $\mathrm{arccot} x\in (0,\pi)$且$\displaystyle\arctan x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.則以下哪些命題是正確的?
(A) 對所有$x>0$, $\displaystyle S_{10}\left( x \right) =\frac{\pi}{2}-\arctan \left( \frac{1+11x^2}{10x} \right)$
(B) 對所有$x>0$, $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty}\cot \left( S_n\left( x \right) \right) =x$
(C) 方程$\displaystyle S_3(x)=\frac{\pi}{4}$在$(0,\infty)$上有根
(D) 對所有$n\geqslant 1$和$x>0$, $\displaystyle\tan(S_n(x))\leqslant \frac{1}{2}$
16.對任意復數$w=c+id$,設$\arg(w)\in (-\pi,\pi)$,其中$i=\sqrt{-1}$.設$\alpha$和$\beta$為實數,使得對所有復數$z=x+iy$滿足$\displaystyle\arg\left( \frac{z+\alpha}{z+\beta} \right)=\frac{\pi}{4}$,有序數對$(x,y)$位於圓$x^2+y^2+5x-3y+4=0$上.則以下哪些命題是正確的?
(A) $\alpha=-1$
(B) $\alpha\beta=4$
(C) $\alpha\beta=-4$
(D) $\beta=4$
**第四部分**
本部分包含三個問題.
每個問題的答案都是一個**非負整數**.
對於每個問題,使用鼠標和屏幕上虛擬數字鍵盤,輸入與答案對應的正確整數.
每個問題的回答將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果只輸入了正確的整數,加4分;
零分:所有其它情況, 0分.
17.對於$x\in \mathbb{R}$,方程
$$3x^2-4\left|x^2-1\right|+x-1=0$$
實數根的個數為?
18.在三角形$ABC$中,設$AB=\sqrt{23}$, $BC=3$和$CA=4$.
則$\displaystyle\frac{\cot A+\cot C}{\cot B}$的值為?
19.設$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$為三維空間中的向量,其中$\overrightarrow{u}$和$\overrightarrow{v}$為互不垂直的單位向量,且$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}=1,
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=1,
\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{w}=4$.
如果相鄰邊由向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$表示的平行六面體的體積為$\sqrt{2}$,則$\displaystyle\left|3\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v}\right|$的值為?
看過電影《三傻大鬧寶萊塢》的朋友都知道,在印度,人們通常認為,一流學生上印度理工學院,二流的學生才選擇國外著名大學.因此,幾乎所有的印度學生都將印度理工學院視為自己理想學府,並為之而奮斗.在印度的高等教育系統中,印度理工學院擁有自己獨立的管理系統,其入學考試也區別於一般的大學入學考試,他們通過理工學院聯合入學考試JEE (Joint Entrance Examination)來招收學生. JEE被譽為“世界上最可信的和最具競爭性的入學考試之一”,為各印度理工學院招收了大量高素質學生.每年約有 20 萬考生報名參加該考試,而錄取率僅為2%左右.
其初試名為“JEE Main”,每年舉行兩次.學生可以參加兩次考試,取其中最高的成績,在JEE Main中名列前茅的考生可參加JEE Advanced (聯合入學考試復試).
JEE Advanced (以前稱為IIT-JEE)是JEE考試的第二輪,在JEE Main考試之后進行,通常由印度理工學院七個不同的校區輪流舉行.
**2021年JEE (ADVANCED)數學試題二**
**第一部分(最高分: 24)**
本部分包含六個問題.
每個問題有四個選項(A), (B), (C)和(D).這四個選項中的**一個或多個**是正確答案.
對於每個問題,選擇正確答案對應的選項.
每個問題的答案將根據以下評分方案進行評分:
滿分:選擇了正確的選項,加4分;
部分分:如果四個選項都正確,但只選擇了三個選項,加3分;
部分分:如果三個或更多選項正確,但只選擇了兩個選項,這兩個選項都正確,加2分;
部分分:如果兩個或更多選項正確,但只選擇了一個選項,並且該選項正確,加1分;
零分:如果未回答,得 0分;
負分:其它情況,減2分.
例如,在一個問題中,如果只有(A) (B)和(D)是與正確答案相對應的三個選項,那么
僅選擇(A) (B)和(D)將獲得$+4$分;
僅選擇(A)和(B)將獲得$+2$分;
僅選擇(A)和(D)將獲得$+2$分;
僅選擇(B)和(D)將獲得$+2$分;
僅選擇(A)將獲得$+1$分;
僅選擇(B)將獲得$+1$分;
僅選擇(D)將獲得$+1$分;
不選擇(即問題未回答)將得到$0$分,
選擇任何其他選項將獲得$-2$分.
1.設
$$\begin{aligned}
S_1 &=\left\{ \left( i,j,k \right) :i,j,k\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},\\
S_2 &=\left\{ \left( i,j \right) :1\leqslant i< j+2\leqslant 10,i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},\\
S_3 &=\left\{ \left( i,j,k,l \right) :1\leqslant i< j < k < l,i,j,k,l\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},
\end{aligned}$$
和
$$S_4=\left\{ \left( i,j,k,l \right) :i,j,k\text{和$l$為$\left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\}$中的不同元素} \right\}.$$
若集合$S_r$中的元素總數為$n_r$, $r=1,2,3,4$,則以下哪些命題是正確的?
(A) $n_1=1000$
(B) $n_2=44$
(C) $n_3=220$
(D) $\displaystyle\frac{n_4}{12}=420$
2.考慮三角形$PQR$,它的角$P,Q$和$R$的對邊長分別為$p,q$和$r$.則以下哪些命題是正確的?
(A) $\displaystyle\cos P\geqslant 1-\frac{p^2}{2qr}$
(B) $\displaystyle\cos R\geqslant\left(\frac{q-r}{p+q}\right)\cos P+\left(\frac{p-r}{p+q}\right)\cos Q$
(C) $\displaystyle\frac{q+r}{p}<2\frac{\sqrt{\sin Q\sin R}}{\sin P}$
(D) 若$p< q$和$p< r$,則$\displaystyle\cos Q>\frac{p}{r}$和$\displaystyle\cos R>\frac{p}{q}$
3.設$\displaystyle f:\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\to \mathbb{R}$為連續函數,使得$f(0)=1$和$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(t)dt=0$.則以下哪些命題是正確的?
(A) 方程$\displaystyle f(x)-3\cos 3x=0$在$\displaystyle\left( 0,\frac{\pi}{3} \right)$上至少有一個解
(B) 方程$\displaystyle f(x)-3\sin 3x=-\frac{6}{\pi}$在$\displaystyle\left( 0,\frac{\pi}{3} \right)$上至少有一個解
(C) $\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\int_0^x{f\left( t \right) dt}}{1-e^{x^2}}=-1$
(D) $\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x\int_0^x{f\left( t \right) dt}}{x^2}=-1$
4.對任意實數$\alpha$和$\beta$,設$\displaystyle y_{\alpha,\beta}(x),x\in \mathbb{R}$為微分方程$\displaystyle\frac{dy}{dx}+\alpha y=xe^{\beta x},y(1)=1$的解.設$\displaystyle S=\left\{y_{\alpha,\beta}(x):\alpha,\beta\in \mathbb{R}\right\}$.則以下哪些函數屬於集合$S$?
(A) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{x^2}{2}e^{-x}+\left( e-\frac{1}{2} \right) e^{-x}$
(B) $\displaystyle f\left( x \right) =-\frac{x^2}{2}e^{-x}+\left( e+\frac{1}{2} \right) e^{-x}$
(C) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{e^x}{2}\left( x-\frac{1}{2} \right) +\left( e-\frac{e^2}{4} \right) e^{-x}$
(D) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{e^x}{2}\left( \frac{1}{2}-x \right) +\left( e+\frac{e^2}{4} \right) e^{-x}$
5.設$O$為原點, $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}
+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},
\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}
-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$且對某個$\lambda>0$,有
$\overrightarrow{OC}
=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}
-\lambda\overrightarrow{OA}\right)$.
若$\left|\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}\right|=\frac{9}{2}$,則以下哪些命題是正確的?
(A) $\overrightarrow{OC}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影為$-\frac{3}{2}$
(B) 三角形$OAB$的面積為$\frac{9}{2}$
(C) 三角形$ABC$的面積為$\frac{9}{2}$
(D) 以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OC}$為鄰邊的平行四邊形的對角線所夾的銳角為$\displaystyle\frac{\pi}{3}$
6.設$E$為拋物線$y^2=8x$.設$P=(-2,4)$,並設$Q$和$Q'$是$E$上不同兩點,使得直線$PQ$和$PQ'$為$E$上的切線.設$F$為$E$的焦點.則以下哪些命題是正確的?
(A) 三角形$PFQ$為直角三角形
(B) 三角形$QPQ'$為直角三角形
(C) $P$和$F$間的距離為$5\sqrt{2}$
(D) $F$在$Q$和$Q'$的連線上
**第二部分(最高分: 12)**
本部分包含三個題干.
每個題干對應兩個問題.
每個問題的答案都是一個**數值**.
對於每個問題,使用鼠標和屏幕上的虛擬數字鍵盤在指定位置輸入與答案對應的正確數值.
如果數值的小數位數超過兩位,請將數值**截斷或四舍五入**到兩位小數.
每個問題的答案將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果在指定位置只輸入了正確的數值,加2分;
零分:所有其它情況, 0分.
**問題7和8的題干**
考慮區域$\displaystyle R=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x\geqslant 0\text{和}y^2\leqslant 4-x \right\}$.設$F$為包含在$R$內所有圓心在$x$軸上的圓族.設$C$為$F$中半徑最大的圓.設$(\alpha,\beta)$是圓$C$與曲線$y^2=4-x$的交點.
7.圓$C$的半徑為?
8. $\alpha$的值為?
**問題9和10的題干**
設$f_1:(0,\infty)\to \mathbb{R}$和$f_2:(0,\infty)\to \mathbb{R}$定義為$\displaystyle f_1\left( x \right) =\int_0^x{\prod_{j=1}^{21}{\left( t-j \right) ^jdt}},x>0$
和$f_2(x)=98(x-1)^{50}-600(x-1)^{49}+2450,x>0$,其中對任意正整數$n$和實數$a_1,a_2,\cdots,a_n$, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i$表示$a_1,a_2,\cdots,a_n$的乘積.設$m_i$和$n_i$分別表示函數$f_i,i=1,2$在區間$(0,\infty)$上極小值點和極大值點的個數.
9. $2m_1+3n_1+m_1n_1$的值為?
10. $6m_2+4n_2+8m_2n_2$的值為?
**問題11和12的題干**
設$\displaystyle g_i:\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]\to \mathbb{R},i=1,2$和$\displaystyle f:\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]\to \mathbb{R}$為函數,使得對所有$\displaystyle x\in \left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$,
有$g_1(x)=1,g_2(x)=|4x-\pi|$且$f(x)=\sin^2x$.
定義$\displaystyle S_i=\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}f(x)\cdot g_i(x)dx,i=1,2$.
11. $\displaystyle\frac{16S_1}{\pi}$的值為?
12. $\displaystyle\frac{48S_2}{\pi^2}$的值為?
**第三部分(最高分: 12)**
本部分包含兩段.基於每段有兩個問題.
每個問題有四個選項(A), (B), (C)和(D).這四個選項中**只有一個**是正確答案.
對於每個問題,選擇與正確答案相對應的選項.
每個問題的回答將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果選擇了正確的選項,加3分;
零分:如果沒有選擇任何選項(即問題未回答), 0分;
負分:其它情況,減1分.
**段落**
設$\displaystyle M=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x^2+y^2\leqslant r^2 \right\}$,其中$r>0$.考慮等比數列$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^{n-1}},n=1,2,3,\cdots$設$S_0=0$,對於$n\geqslant 1$,設$S_n$為該數列前$n$項和.對於$n\geqslant 1$,設$C_n$表示圓心在$(S_{n-1},0)$,半徑為$a_n$的圓,而$D_n$表示圓心在$(S_{n-1},S_{n-1})$,半徑為$a_n$的圓.
13.考慮$\displaystyle r=\frac{1025}{513}$時的$M$.設$k$為$M$內所有這些圓$C_n$的個數.設$I$為這$k$個圓之間互不相交的最大可能個數.則
(A) $k+2l=22$
(B) $2k+l=26$
(C) $2k+3l=34$
(D) $3k+2l=40$
14.考慮$\displaystyle r=\frac{\left( 2^{199}-1 \right) \sqrt{2}}{2^{198}}$
時的$M$. $M$內所有那些圓$D_n$的個數為
(A) $198$
(B) $199$
(C) $200$
(D) $201$
**段落**
設$\psi_1:[0,\infty)\to \mathbb{R},\psi_2:[0,\infty)\to \mathbb{R},f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$和$g:[0,\infty)\to \mathbb{R}$為函數,使得$f(0)=g(0)=0$, $\psi_1(x)=e^{-x}+x,x\geqslant 0$, $\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2,x\geqslant 0$,
$\displaystyle f\left( x \right) =\int_{-x}^x{\left( \left| t \right|-t^2 \right) e^{-t^2}dt},x>0$和$\displaystyle g\left( x \right) =\int_0^{x^2}{\sqrt{t}e^{-t}dt},x>0$.
15.以下哪個命題是正確的?
(A) $\displaystyle f\left( \sqrt{\ln 3} \right) +g\left( \sqrt{\ln 3} \right) =\frac{1}{3}$
(B) 對於每個$x>1$,存在$\alpha\in (1,x)$,使得$\psi_1(x)=1+\alpha x$
(C) 對於每個$x>0$,存在$\beta\in (0,x)$,使得$\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
(D) $f$在區間$\left[0,\frac{3}{2}\right]$上為遞增函數
16.以下哪個命題是正確的?
(A) 對於所有的$x>0$, $\psi_1(x)\leqslant 1$
(B) 對於所有的$x>0$, $\psi_2(x)\leqslant 0$
(C) 對於所有的$x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle f(x)\geqslant 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$
(D) 對於所有的$x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle g(x)\leqslant \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$
**第四部分(最高分: 12)**
本部分包含三個問題.
每個問題的答案都是一個**非負整數**.
對於每個問題,使用鼠標和屏幕上虛擬數字鍵盤,輸入與答案對應的正確整數.
每個問題的回答將根據以下評分方案進行評分:
滿分:如果只輸入了正確的整數,加4分;
零分:所有其它情況, 0分.
17.從集合$\{1,2,3,\cdots,2000\}$中隨機選取一個數.設$p$為該數是$3$的倍數或$7$的倍數的概率.則$500p$的值是?
18.設$E$為橢圓$\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.對於$E$上任意三個不同的點$P,Q$和$Q'$,設$M(P,Q)$是連接$P$和$Q$的線段的中點,且$M(P,Q')$是連接$P$和$Q'$的線段的中點.則當$P,Q$和$Q'$在$E$上變化時, $M(P,Q)$和$M(P,Q')$間距離的最大可能值為?
19.對於任意實數$x$,設$[x]$表示小於或等於$x$的最大整數.若$\displaystyle I=\int_0^{10}{\left[ \sqrt{\frac{10x}{x+1}} \right] dx}$,則$9I$的值為?