判斷一個數是不是質數的方法

如題：204. 計數質數

給定整數 n ，返回 所有小於非負整數 n 的質數的數量 。

示例 1：

輸入：n = 10
輸出：4
解釋：小於 10 的質數一共有 4 個, 它們是 2, 3, 5, 7 。
示例 2：

輸入：n = 0
輸出：0
示例 3：

輸入：n = 1
輸出：0

提示：

0 <= n <= 5 * 106

 

方法一：

暴力枚舉：

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            ans += isPrime(i) ? 1 : 0;
        }
        return ans;
    }

    public boolean isPrime(int x) {
        for (int i = 2; i * i <= x; ++i) {
            if (x % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

 

 

 

方法二：

埃氏篩：

枚舉沒有考慮到數與數的關聯性，因此難以再繼續優化時間復雜度。接下來我們介紹一個常見的算法，該算法由希臘數學家厄拉多塞提出，稱為厄拉多塞篩法，簡稱埃氏篩。

我們考慮這樣一個事實：如果 x 是質數，那么大於 x 的 x 的倍數 2x,3x,… 一定不是質數，因此我們可以從這里入手。

我們設 isPrime[i] 表示數 i 是不是質數，如果是質數則為 1，否則為 0。從小到大遍歷每個數，如果這個數為質數，則將其所有的倍數都標記為合數（除了該質數本身），即 0，這樣在運行結束的時候我們即能知道質數的個數。

這種方法的正確性是比較顯然的：這種方法顯然不會將質數標記成合數；另一方面，當從小到大遍歷到數 x 時，倘若它是合數，則它一定是某個小於 x 的質數 y 的整數倍，故根據此方法的步驟，我們在遍歷到 y 時，就一定會在此時將 x 標記為 isPrime[x]=0。因此，這種方法也不會將合數標記為質數。

當然這里還可以繼續優化，對於一個質數 x，如果按上文說的我們從 2x 開始標記其實是冗余的，應該直接從 x⋅x ,開始標記， x⋅(x+1), x⋅(x+2)因為 2x,3x,… 這些數一定在 x 之前就被其他數的倍數標記過了，例如 2 的所有倍數，3 的所有倍數等。

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int[] isPrime = new int[n];
        Arrays.fill(isPrime, 1);
        int res = 0;
        for(int i=2; i<n; i++){
            if(isPrime[i]==1){
                res+=1;
                if((long)i*i < n){ 10                     for (int j = i*i;  j<n; j+=i){ 11                         isPrime[j] = 0; 12  } 13  } 14             }
        }
        return res;
    }
}

 

 

 

 

方法三：線性篩

 

 

 

 

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int[] isPrime = new int[n];
        Arrays.fill(isPrime, 1);
        for (int i=2; i<n; i++){
            if(isPrime[i] == 1){
                list.add(i);
            }
            for (int j=0; j<list.size() && i*list.get(j)<n; j++){
                isPrime[i*list.get(j)] = 0;
                if(i%list.get(j) == 0){
                    break;
                }
            }
        }
        return list.size();
    }
}