概念
函數
定義
設 \(x\) 和 \(y\) 是兩個變量, \(D\) 是一個給定的數集,如果對於每個數 \(x\in D\) ,變量 \(x\) 按照一定的法則總有一個確定的數值 \(y\) 和它對應,則稱 \(y\) 是 \(x\) 的函數,記為:
其中 \(x\) 稱為自變量 \(y\) 稱為因變量, \(D\) 稱為函數的定義域,記作 \(D_f\) ,即 \(D_f=D.\)
函數值 \(f(x)\) 的全體所構成的集合稱為函數 \(f\) 的值域,記作 \(R_f\) 或 \(f(D)\) ,即
函數的兩個基本要素:
定義域,對應規則(或稱依賴關系),當兩個函數的定義域與對應規則完全相同時,它們就是同一函數
復合函數
定義
設函數 \(y=f(u)\) 的定義域為 \(D_f\) ,函數 \(u=g(x)\) 的定義域為 \(D_g\) ,值域為 \(R_g\) ,若 $D_f\cap R_g \neq \emptyset $ ,則稱函數 \(y=f[g(x)]\) 為函數 \(y=f(u)\) 與 \(u=g(x)\) 的復合函數.它的定義域為 \(\{x \mid x \in D_g,g(x)\in D_f\}\).
注意:
根據定義,不是任何兩個函數都可以復合,只有滿足 $D_f\cap R_g \neq \emptyset $ 的兩個函數才可以復合 .
反函數
定義
設函數 \(y=f(x)\) 的定義域為 \(D\) ,值域為 \(R_y\) .若對任意 \(y\in R_y\) ,有唯一確定的 \(x\in D\) 使得 \(y=f(x)\) ,則記為 \(x=f^{-1}(y)\) ,稱其為 \(y=f(x)\) 的反函數.
注意:
- 根據定義,不是任何函數都有反函數,只有滿足對任意 \(y\in R_y\) ,有唯一確定的 \(x\in D\) 使得 \(y=f(x)\) 的函數才有反函數
- 嚴格單調函數一定有反函數,反之不成立
- 在同一直角坐標系中 \(y=f(x)\) 與 \(y=f^{-1}(x)\) 關於 \(y=x\) 對稱
- \(f^{-1}[f(x)]=x\) , \(f[f^{-1}(x)]=x\) .
初等函數
定義
由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合所構成並可用一個式子表示的函數,稱為初等函數
基本初等函數
將冪函數,指數函數,對數函數,三角函數,反三角函數統稱為基本初等函數
冪函數 (\(y=x^{\mu}(\mu為實數)\))
- 冪函數 \(y=x^{\mu}\) 的定義域和值域取決於 \(\mu\) 的取值,當 \(x>0\) 時, \(y=x^{\mu}\) 都有定義.
- 常見冪函數:\(y=x,y=x^2,y=x^3,y=\sqrt{x},y=\sqrt[3]{x},y=\frac{1}{x}\).
指數函數 (\(y=a^{x}(a>0,a\neq 1)\))
- 定義域: \((-\infty,+\infty)\),值域: \((0,+\infty)\).
- 單調性:當 \(a>1\) 時, \(y=a^{x}\) 單調增;當 \(0<a<1\) 時, \(y=a^{x}\) 單調減.
- 常見指數函數: \(y=e^{x}\)
對數函數 (\(y=\log_{a}{x}(a>0,a\neq 1)\) )
- 定義域:\((0,+\infty)\),值域:\((-\infty,+\infty).\)
- 單調性:當 \(a>1\) 時, \(y=\log_a{x}\) 單調增;當 \(0<a<1\) ,\(y=\log_a{x}\) 單調減.
- 常見對數函數:\(y=\ln{x}\)
NOTE:指數函數和對數函數互為反函數
三角函數與反三角函數
以下圖片來自知乎用戶:浣熊數學
鏈接:三角函數公式需要背下來嗎？
性質
單調性
定義
設函數 \(y=f(x)\) 在某區間 \(I\) 上有定義,如果對於區間 \(I\) 上的任意兩點 \(x_1<x_2\) 恆有 \(f(x_1)<f(x_2)\) 或( \(f(x_1)>f(x_2)\) ),則稱 \(y=f(x)\) 在該區間內單調增加(或單調減少)
注意:函數的單調性可以通過一階導數的正負進行判定.
奇偶性
定義
設函數 \(y=f(x)\)的定義域 \(D\) 關於原點對稱(即若 \(x\in D\) 則有 \(-x \in D\) ),對於任一 \(x \in D\) ,如果恆有:
則稱 \(f(x)\) 為 \(D\) 上的偶函數;如果恆有:
則稱 \(f(x)\) 為 \(D\) 上的奇函數
注意:
- 任何一個函數 \(f(x)\) 都可以寫成一個奇函數和一個偶函數相加的形式: \(f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}\)
- 奇函數 \(y=f(x)\) 的圖像關於原點對稱,且若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 處有定義,則 \(f(0)=0\);而偶函數的圖像關於 \(y\) 軸對稱
- 兩個奇(偶)函數之和仍為奇(偶)函數,兩個奇(偶)函數值之積必為偶函數,奇函數與偶函數之積必為奇函數.
周期性
定義
若存在實數 \(T>0\) ,對於任意 \(x\) 恆有 \(f(x+T)=f(x)\) ,則稱 \(y=f(x)\) 為周期函數.使得上述關系成立的最小正數 \(T\) 稱為 \(f(x)\) 的最小正周期,簡稱為 \(f(x)\) 的周期
注意:
- 若 \(f(x)\) 以 \(T\) 為周期,則 \(f(ax+b)\) 以 \(\frac{T}{\mid a \mid}\) 為周期
有界性
定義
設 \(y=f(x)\) 在集合 \(X\) 上有定義.若存在 \(M>0\) ,使得對任意的 \(x \in X\) ,恆有:
則稱 \(f(x)\) 在 \(X\) 上為有界函數,否則稱 \(f(x)\) 在 \(X\) 上為無界函數.即:
如果對任意的 \(M>0\) ,至少存在一個 \(x_0 \in X\) 使得:
則 \(f(x)\) 為 \(X\) 上的無界函數.
注意:區分無界變量與無窮大量