一文看懂：單顆粒在流體中的受力

一、單顆粒在流體中的受力可分為以下三類：

1. 與流體-顆粒相對運動無關的力：慣性力、重力、壓力梯度力、浮力
2. 與流體-顆粒相對運動相關、力的方向沿相對運動方向：曳力、附加質量力、Basset力
3. 與流體-顆粒相對運動相關、力的方向垂直於相對運動方向：升力、Magnus力、Saffman力
   以上受力的牛頓第二定律表達：所有受力相加為零。

二、逐個描述

下文中，顆粒直徑為\(d\)，密度為\(\rho_p\)，流體密度為\(\rho_g\)，流體動力粘度為\(\mu\)，\(u_p,u_g,u_s\)分別表示顆粒速度，流體速度，滑移速度（流體-顆粒）

1. 慣性力

當物體加速時，慣性會是物體有保持原有運動狀態的傾向，若是以該物體為參照物，看起來仿佛有一股方向相反的力作用在該物體上。

\[F=-\frac{1}{6}\pi d^3 \rho_p \frac{du_p}{dt} \]

從表達式可以看出，慣性力為\(ma\)，即其他力的合力

2. 曳力

又稱阻力，是流體與顆粒發生相對運動時所產生的與運動方向相反的力。

\[F=\frac{1}{2}\rho_g u_s^2 A_p C_D=\frac{1}{2}\rho_g u_s^2 \frac{\pi d^2}{4} C_D=\frac{1}{8}\pi d^2 \rho_g u_s^2 C_D \]

其中\(C_D\)為阻力系數。如果流動為“爬流”，則\(C_D\)有解析解，即斯托克斯定律。

2.1 低速運動時球體曳力的斯托克斯定律

這種“低速”運動還被稱為“爬流”，“滯流”，“斯托克斯流”。如圖，流體從無窮遠處向\(z\)軸正方向流動，來流速度為\(v_{\infty}\)，壓力\(p_0\)

顆粒表面\(A\)點處的局部面元會受到平行於面元法向的壓力以及垂直於面元法向的剪切力即摩擦力。通過計算壓力和摩擦力在\(z\)方向分力沿整個顆粒表面的積分，可以得到顆粒在\(z\)方向所受的阻力。在球坐標系中，空間點\(B\)的坐標如圖為\((r,\theta,\phi)\)。\(\theta\)為\(B\)點與原點連線和\(z\)軸的夾角，\(\phi\)為\(B\)點在\(xy\)平面投影與\(x\)軸的夾角。

對於爬流，球坐標系下空間中任意一點的壓力\(p\)和剪切力為\(\tau\)

\[p=p_0-\rho gz - \frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}\left(\frac{R}{r}\right)^2cos \theta \]

\[\tau_{r\theta}=\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}\left(\frac{R}{r}\right)^4cos \theta \]

以上推導過程見《傳遞過程原理》流函數章節。壓力方程中的笛卡爾坐標與球坐標的轉化為\(z=rcos\theta\)

將\(p\)和\(\tau\)的\(z\)方向的分力沿整個球面積分。首先計算圖中藍色圓環的面積。設圓環所在的、與\(xy\)平面平行的圓的半徑為\(r_1\)，球半徑為\(R\)，圓環與\(z\)軸夾角為\(\theta\)，圓環上端與下端之間的夾角為\(d\theta\)，對應的弧長為\(dh=Rd\theta\)，則圓環（也可以認為是球台）的面積為

\[dS=2\pi r_1 dh=2\pi Rsin\theta Rd\theta=2\pi R^2 sin\theta d\theta \]

由\(p\)產生的\(z\)方向分力積分為

\[F_p = \int -pcos\theta dS = \int_0^\pi -pcos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ = \int_0^\pi (-p_0+\rho_g gRcos\theta +\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}cos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ = \int_0^\pi (-p_0) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ + \int_0^\pi (\rho_g gRcos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ + \int_0^\pi (\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}cos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ =0+\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_g g + 2\pi \mu R v_{\infty} \]

可見，在靜止流體中，顆粒表面壓力積分為浮力，即壓力梯度力=浮力。

由\(\tau\)產生的\(z\)方向分力積分為

\[F_{\tau}=\int_0^\pi \tau sin\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta=4\pi \mu R v_{\infty} \]

因此，顆粒在\(z\)方向受到的流體總的作用力為

\[F=F_p+F_{\tau}=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_g g + 6\pi \mu R v_{\infty} \]

其中運動部分產生的阻力為\(6\pi \mu R v_{\infty}=3\pi \mu d v_{\infty}\)，阻力系數或曳力系數為

\[C_D=\frac{3\pi \mu d v_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho_g v_{\infty}^2 \pi R^2} = \frac{24}{Re} \]

其中\(Re=\rho_g v_{\infty} d/\mu\)，上式則為斯托克斯定律。其應用范圍為爬流。

3. 壓力梯度力

前面已經提到過，壓力梯度力與流體和顆粒之間是否存在相對運動無關，只要把顆粒置於有壓力梯度的流場中，則顆粒會受壓力梯度引起的力：

\[F=V_p \frac{dp}{dx} \]

靜止流體中，只有重力方向存在壓力梯度，

\[\frac{dp}{dz}=\rho_g g \]

此時壓力梯度力=浮力，與前文結果相同。

4. 附加質量力

顆粒以相對加速度在流體中作加速運動時，必將帶動周圍流體加速，因此這種推動顆粒做加速運動的力同時也推動了流體運動，這就好像是顆粒質量變大了一樣。顆粒在靜止、無粘、不可壓縮流體中的變速運動過程經推導可得顆粒表面壓力分布為

\[p=p_0+\frac{\rho_g u_p^2}{2}(1-\frac{9}{4}sin^2\theta)-\frac{\rho_g R}{2}cos\theta \frac{du_p}{dt} \]

可見，如果顆粒做勻速直線運動，則上式不存在最后一項。對最后一項做球面積分可計算出附加質量力的大小

\[F=-\frac{1}{2}\rho_g V_p \frac{du_p}{dt} \]

5. Basset力

由於流體有粘性，當顆粒有相對加速度時，顆粒周圍的流場不能馬上達到穩定。因此，流體對顆粒的作用力不僅依賴於當時顆粒的相對速度（曳力）、當時的相對加速度（附加質量力），還依賴於這之前加速度的歷史。

6. Magnus升力

若在流場中存在速度梯度，該梯度會引起顆粒旋轉。這時，因為速度大的一側壓力小，速度小的一側壓力大，這樣產生的壓差力將推動球體向速度大的一側移動，這種推動力為Magnus力。足球比賽中的“香蕉球”和此力有關。

該力和顆粒旋轉有關，顆粒旋轉角速度為\(\omega\)，則顆粒在運動流體中的Magnus力為

\[F=\frac{3}{4}V_p \rho_g \omega u_s \]

7. Saffman升力

當顆粒處於有速度梯度的流場中，即使顆粒沒有旋轉，也會受橫向升力。

通常在壁面處需要考慮該力，因為壁面處速度梯度較大。

8. 升力

如果流體為空氣，通常升力被稱為氣動力（aerodynamic force）

升力可以和曳力一起討論，兩者表達式相同，曳力平行於流動方向，升力垂直於流動方向。若升力系數為\(C_L\)，則

\[F=\frac{1}{2}\rho_g u_s^2 A_p C_L \]

三、終端速度

顆粒在靜止流體中自由沉降，達到受力平衡時的速度為終端速度。此時顆粒浮力、重力、曳力三者平衡。

\[\rho_p V_p g - \rho_g V_p g - \frac{1}{2}\rho_g u_s^2 A_p C_D = 0 \]

\[u_T=\sqrt{\frac{4d(\rho_p-\rho_g)g}{3\rho_g C_D}} \]

由此\(C_D\)是\(Re\)的函數，而\(Re\)與顆粒速度相關，因此上式需要迭代求解。