二叉樹的簡單認識

樹的定義

樹是一種抽象數據類型，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。樹的專業術語比較多，需要了解一下：

• 樹的結點：包含一個數據元素及若干指向子樹分支的信息
• 結點的度：一個結點含有的子樹數目稱為該結點的度
• 樹的度：樹中最大的結點度稱為樹的度
• 葉子結點：也稱終端結點，結點度為零的結點
• 分支結點：也稱非終端結點，結點度不為零的結點
• 子結點：一個結點含有的子樹的根結點稱為該結點的子結點
• 父結點：若一個結點含有子結點，則這個結點稱為其子結點的父結點
• 兄弟結點：具有相同父結點的結點互稱為兄弟結點
• 堂兄弟結點：父結點在同一層的結點互為堂兄弟結點
• 結點的祖先：從根到該結點所經分支上的所有結點稱為該結點的祖先
• 子孫：以某結點為根的子樹中任一結點都稱為該結點的子孫
• 結點的層次：從根開始定義起，根為第 1 層，根的子結點為第 2 層，以此類推
• 深度：對於任意結點 n，n 的深度為從根到 n 的唯一路徑長，根的深度為 0
• 高度：對於任意結點 n，n 的高度為從 n 到葉子結點的最長路徑長，所有葉子結點的高度為 0
• 森林：由 m(m>=0) 棵互不相交的樹組成的集合稱為森林

二叉樹

樹的結構多種多樣，不過最常用的還是二叉樹。

顧名思義，二叉是指每個結點最多只有兩個子結點，分別稱為左子結點和右子結點。但是，二叉樹並不要求所有結點必須擁有兩個子結點，有的結點只有左子結點，有的結點只有右子結點。

滿二叉樹

如圖 a 所示，除葉子結點以外，其余的結點每個都有 2 個子結點，這種二叉樹被稱為滿二叉樹。

完全二叉樹

如圖 b 所示，除最后一層外，每一層的結點數均達到最大值，而且最后一層的葉子結點都靠左排列，只缺少右邊的若干結點，這種二叉樹被稱為完全二叉樹。

可以看得出，滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹。

二叉查找樹

二叉查找樹是一種特殊的二叉樹，常用作搜索使用，也被稱為二叉搜索樹、二叉排序樹。

它有可能是一棵空樹，也可能是具有以下性質的二叉樹：

• 若根結點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於根結點的值
• 若根結點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於等於根結點的值
• 根結點的左、右子樹也分別為二叉查找樹

二叉查找樹是一種經典的數據結構，它既具有鏈表快速插入、刪除的特點，又具有數組快速查找的優勢。

存儲結構

鏈式存儲

使用鏈表存儲樹的結構是一種比較簡單、直觀的方法。

二叉樹中每個結點最多只有兩個子結點，因此，可以給結點設計一個數據域和兩個指針域，這兩個指針域分別指向左子結點和右子結點。

這種情況下，使用鏈表作為存儲方式，只要拎住根結點，就可以通過左右子結點的指針，把整棵樹都串起來。

這種方式比較常用，大部分二叉樹代碼都是通過這種方式實現的。

順序存儲

二叉樹的順序存儲結構是基於數組實現的，用一維數組存儲二叉樹中的結點，並且數組的下標能夠體現出二叉樹結點之間的邏輯關系。

在這個存儲二叉樹結點的數組中，為了使得后續的結點邏輯關系易於理解，下標為 0 的存儲位置是不使用的。一般是把根結點存儲在 i = 1 的位置上，它的左子結點存儲在 2i = 2 的位置上、右子結點存儲在 2i + 1 = 3 的位置上。以此類推，左子結點的左子結點存儲在 2i = 4 的位置，它的右子結點存儲在 2i + 1 = 5 的位置。

總結二叉樹結點在數組中的邏輯關系：如果結點 x 存儲在數組中下標為 i 的位置，則結點 x 的左子結點存儲在數組中下標為 2i 的位置，右子結點存儲在數組中下標為 2i+1 的位置。

可以發現，上述展示的是一個完全二叉樹，使用數組存儲完全二叉樹時，會發現除了下標為 0 的位置沒有存儲數據之外，其他的位置都被填滿了。

而如果是非完全二叉樹，則會出現浪費數組中內存空間的情況。如下圖所示：

因此，一般使用順序存儲結構存儲完全二叉樹，在這種情況下，相比較鏈式存儲結構會更節省內存。

堆其實就是一種完全二叉樹，最常用的存儲方式就是數組。

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得某個結點僅且被訪問一次。

深度優先遍歷

深度優先遍歷方式是指盡可能深地搜索樹的分支，即先遍歷到葉子結點再更改搜索路徑。二叉樹經典的深度優先遍歷方式有三種：前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷。

其中，前、中、后序，表示的是結點與它的左右子樹結點遍歷打印的先后順序：

• 前序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先打印這個結點，然后再打印它的左子樹，最后打印它的右子樹
• 中序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先打印它的左子樹，然后再打印它本身，最后打印它的右子樹
• 后序遍歷是指，對於樹中的任意結點來說，先打印它的左子樹，然后再打印它的右子樹，最后打印這個結點本身

其實，二叉樹的前、中、后序遍歷就是一個遞歸的過程。比如，前序遍歷就是先打印根結點，然后再遞歸地打印左子樹，最后遞歸地打印右子樹。

下述是遞歸實現前、中、后序遍歷的偽代碼展示：

void preOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 打印根結點
    print root;
    // 遞歸打印左子樹
    preOrder(root->left);
    // 遞歸打印右子樹
    preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 遞歸打印左子樹
    inOrder(root->left);
    // 打印根結點
    print root;
    // 遞歸打印右子樹
    inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    // 遞歸打印左子樹
    postOrder(root->left);
    // 遞歸打印右子樹
    postOrder(root->right);
    // 打印根結點
    print root;
}

除了使用遞歸的方式實現深度優先遍歷外，還可以使用棧這種數據結構以非遞歸方式實現，前序遍歷方式如下：

1. 將 A 結點壓入棧中，棧的結構是 [A]；
2. 將 A 結點彈出，然后將 A 結點的子結點 B、C 壓入棧中，棧的結構是 [C, B]；
3. 將 B 結點彈出，然后將 B 結點的子結點 D、E 壓入棧中，棧的結構是 [C, E, D]；
4. 將 D 結點彈出，D 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [C, E]；
5. 將 E 結點彈出，E 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [C]；
6. 依次類推，最終以 A、B、D、E、C、F、G 的次序彈出結點元素。

廣度優先遍歷

廣度優先遍歷又稱為層次遍歷，從上往下對每一層依次訪問，在每一層中，從左往右（也可以從右往左）訪問結點，訪問完一層再訪問下一層。

層次遍歷需要使用到隊列這種數據結構，隊列的特點是先進先出。整個遍歷過程如下：

1. 將 A 結點入隊，隊列的結構是 [A]；
2. 將 A 結點出隊，然后將 A 結點的子結點 B、C 入隊，隊列的結構是 [B, C]；
3. 將 B 結點出隊，然后將 B 結點的子結點 D、E 入隊，隊列的結構是 [C, D, E]；
4. 將 C 結點出隊，然后將 C 結點的子結點 F、G 入隊，隊列的結構是 [D, E, F, G]；
5. 將 D 結點出隊，D 結點沒有子結點，無需做處理，棧的結構是 [E, F, G]；
6. 以此類推，最終 A、B、C、D、E、F、G 的次序彈出結點元素。

優缺點

對於深度優先遍歷算法，都是優先搜索完一顆子樹，有着內存占用相對較小的優點，通常存儲結點數是數的深度；非遞歸的深度優先遍歷方式會進行回溯，相對效率比較低。

對於廣度優先遍歷算法，對於解決最短或最小問題特別有效，而且結點只訪問一遍，效率相對較高；使用廣度優先算法需要存儲一層結點的狀態，內存占用相對較高。