Reed-Solomon糾錯碼(RS碼)
Reed-Solomon利用范特蒙矩陣或者柯西矩陣的特性來實現糾錯碼的功能。
Reed-Solomon編碼：
把輸入數據視為向量D=（D1,D2,…,Dn），編碼后數據視為向量（D1,D2,…Dn,C1,C2,…,Cm），RS編碼可以看做為如下圖的矩陣運算。編碼矩陣B必須具有任意子矩陣可逆的特性。
Reed-Solomon解碼：
RS最多能容忍m個數據塊被刪除，m包括實際數據和冗余數據。數據恢復的過程如下：
(1)假設D1,D4,C2丟失，從編碼矩陣中刪掉丟失的數據塊/編碼塊對應的行。
根據上圖所示RS編碼運算等式，可以得到如下B’以及等式。
（2）由於B’是可逆的，記B’的逆矩陣為（B’ ^ -1），則B’*(B’^-1）=I單位矩陣。兩邊左乘B’逆矩陣。
（3）得到如下原始數據D的計算公式
有限域：
假設每一個向量元素由8bit組成，那么矩陣相乘后的結果必然要超過8bit的范圍，為了解決這個問題，提出有限域的概念。
1.域
一組元素的集合，以及在集合上的四則運算，構成一個域。其中加法和乘法必須滿足交換、結合和分配的規律。加法和乘法具有封閉性，即加法和乘法結果仍然是域中的元素。
域中必須有加法單位元和乘法單位元，且每一個元素都有對應的加法逆元和乘法逆元。但不要求域中的0有乘法逆元。
2.有限域
有限域又稱為伽羅華域，其僅含有限多個元素的域。GF（2^ w）表示含有2^ w個元素的有限域，那么在計算機中常用的有限域是GF(2^8)
3.單位元
Identity Element,也叫幺元，通常使用e來表示單位元，單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。
對於二元運算 * ，若a * e=a，e稱為右單位元；若e * a=a,e稱為左單位元，若a * e=e*a =a，則稱e為單位元。
4.逆元
對於二元運算 *，若a * b=e，則a稱為b的左逆元素，b稱為a的右逆元素。若a * b=b * a=e,則稱a為b的逆元，b為a的逆元。
5.本原多項式
域中不可約多項式是不能夠進行因子分解的多項式，本原多項式是一種特殊的不可約多項式，當一個域上的本原多項式確定了，這個域上的運算也就確定了。
**RS-Code是糾刪碼的一種，**Erasure Code(EC),即糾刪碼，是一種前向錯誤糾正技術。主要應用在網絡傳輸中避免包的丟失，存儲系統利用它來提高存儲的可靠性。相比多副本復制而言，糾刪碼能夠以更小的數據冗余度獲得更高數據可靠性，但編碼方式較復雜，需要大量計算。糾刪碼只能容忍數據丟失，無法容忍數據篡改。
EC是一種編碼技術，它可以將n份原始數據，增加m份數據，並能通過n+m份中的任意n份數據，還原為原始數據。即如果有任意小於等於m份的數據失效，仍然能通過剩下的數據還原出來。
目前，糾刪碼技術在分布式存儲系統中應用主要有三類，陣列糾刪碼（Array Code:RAID5\RAID6）、RS、LDPC（LowDensity Parity Check Code)低密度奇偶校驗糾刪碼。
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