線性數據結構

線性數據結構

線性結構是一個有序數據元素的集合。

常用的線性結構

線性表，棧，隊列，雙隊列，串(一維數組)。

非線性數據結構

關於廣義表、數組(高維)，是一種非線性的數據結構。

常見的非線性結構有：二維數組，多維數組，廣義表，樹(二叉樹等)，圖

線性表（線性存儲結構）

將具有“一對一”關系的數據“線性”地存儲到物理空間中，這種存儲結構就稱為線性存儲結構（簡稱線性表）。

使用線性表存儲的數據，如同向數組中存儲數據那樣，要求數據類型必須一致，也就是說，線性表存儲的數據，要么全部都是整形，要么全部都是字符串。一半是整形，另一半是字符串的一組數據無法使用線性表存儲。

將數據依次存儲在連續的整塊物理空間中，這種存儲結構稱為順序存儲結構（簡稱順序表）；數據分散的存儲在物理空間中，通過一根線保存着它們之間的邏輯關系，這種存儲結構稱為鏈式存儲結構（簡稱鏈表）

某一元素的左側相鄰元素稱為“直接前驅”，位於此元素左側的所有元素都統稱為“前驅元素”；某一元素的右側相鄰元素稱為“直接后繼”，位於此元素右側的所有元素都統稱為“后繼元素”

棧

棧又名堆棧，它是一種運算受限的線性表。限定僅在表尾進行插入和刪除操作的線性表。這一端被稱為棧頂，相對地，把另一端稱為棧底。向一個棧插入新元素又稱作進棧、入棧或壓棧，它是把新元素放到棧頂元素的上面，使之成為新的棧頂元素；從一個棧刪除元素又稱作出棧或退棧，它是把棧頂元素刪除掉，使其相鄰的元素成為新的棧頂元素。

單調棧

單調棧中存放的數據應該是有序的，所以單調棧也分為單調遞增棧和單調遞減棧。

單調遞增棧：單調遞增棧就是從棧底到棧頂數據是從大到小。

單調遞減棧：單調遞減棧就是從棧底到棧頂數據是從小到大。

括號序列

括號序列是指由 ‘(’和‘)’ 組成的序列,假如一個括號序列中,包含相同數量的左括號和右括號,並且對於每一個右括號,在它的左側都有左括號和他匹配,則這個括號序列就是一個合法括號序列,如(())( )就是一個合法括號序列,但(())(( )不是合法括號序列.

空串是合法的括號序列。

若S是合法的括號序列，則(S)是合法的括號序列。

若S和T分別是合法的括號序列，則ST也是合法的括號序列。

隊列

隊列是一種特殊的線性表，特殊之處在於它只允許在表的前端進行刪除操作，而在表的后端進行插入操作，和棧一樣，隊列是一種操作受限制的線性表。進行插入操作的端稱為隊尾，進行刪除操作的端稱為隊頭。

單調隊列

單調隊列顧名思義就是一個有規律的隊列，這個隊列的規律是：所有在隊列里的數都必須按遞增（或遞減）的順序列隊。

單調隊列只能解決一個叫滑動窗口的問題。

雙端隊列

雙端隊列是一種具有隊列和棧性質的數據結構，即可（也只能）在線性表的兩端進行插入和刪除。

折半搜索（二分）

前綴和

前綴和是一個數組的某項下標之前(包括此項元素)的所有數組元素的和。

差分

差分，一般在大數據里用在以時間為統計維度的分析中，其實就是下一個數值 ，減去上一個數值 。

二維前綴和：b[x,y]=b[x-1,y]+b[x,y-1]-b[x-1,y-1]+a[x,y]

矩陣求和：S(x1,y1,x2,y2)=b[x2,y2]-b[x1-1,y2]-b[x2,y1-1]+b[x1-1,x2-1]

二維差分：b[x,y]=a[x,y]+a[x-1,y-1]-a[x-1,y]-a[x,y-1]

修改矩形[x1,y1,x2,y2]等價於b[x1,y1]+=v,b[x2+1,y2+1]+=v,b[x1,y2+1]-=v,b[x2+1,y1]-=v。

基數排序（松氏基排）

基本解法

第一步

以LSD為例，假設原來有一串數值如下所示：

73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81

首先根據個位數的數值，在走訪數值時將它們分配至編號0到9的桶子中：

0

1 81

2 22

3 73 93 43

4 14

5 55 65

6

7

8 28

9 39

第二步

接下來將這些桶子中的數值重新串接起來，成為以下的數列：

81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39

接着再進行一次分配，這次是根據十位數來分配：

0

1 14

2 22 28

3 39

4 43

5 55

6 65

7 73

8 81

9 93

第三步

接下來將這些桶子中的數值重新串接起來，成為以下的數列：

14, 22, 28, 39, 43, 55, 65, 73, 81, 93

這時候整個數列已經排序完畢；如果排序的對象有三位數以上，則持續進行以上的動作直至最高位數為止。

LSD的基數排序適用於位數小的數列，如果位數多的話，使用MSD的效率會比較好。MSD的方式與LSD相反，是由高位數為基底開始進行分配，但在分配之后並不馬上合並回一個數組中，而是在每個“桶子”中建立“子桶”，將每個桶子中的數值按照下一數位的值分配到“子桶”中。在進行完最低位數的分配后再合並回單一的數組中。

區間算法

區間計算與傳統的以數為對象的運算(即點計算)不同，它的運算對象是區間。

由於數字計算機只能使用有限位數表示實數，不能精確表達數學意義上的數值，所以數值的每一步計算都會產生誤差。億萬次計算之后，計算機的“舍入規則”效應可能累積相當大的計算誤差，導致數值計算結果精度嚴重損失。而區間計算的整個過程以“區間”為運算對象，提供區間形式的計算結果。這些運算區間在構造上保證包含數據的真實值，使得結果區間也能夠保證包含數據運算的真實結果。

O(n)-O(1)

四毛子算法

一種（非常規）分塊后暴力預處理以此來優化復雜度的思想。

RMQ

RMQ，即區間最值查詢，這是一種在線算法，所謂在線算法，是指用戶每次輸入一個查詢，便馬上處理一個查詢。RMQ算法一般用較長時間做預處理，時間復雜度為O(nlogn)，然后可以在O(1)的時間內處理每次查詢。

RMQ標准算法：先規約成LCA（最近公共祖先），再規約成約束RMQ，O(n)-O(q) online。

首先根據原數列，建立笛卡爾樹，從而將問題在線性時間內規約為LCA問題。LCA問題可以在線性時間內規約為約束RMQ，也就是數列中任意兩個相鄰的數的差都是+1或-1的RMQ問題。約束RMQ有O(n)-O(1)的在線解法，故整個算法的時間復雜度為O(n)-O(1)。

哈希表

unordered-map（基於哈希實現的映射）

除留余數法

取關鍵字被某個不大於散列表表長m的數p除后所得的余數為散列地址。即 H(key) = key MOD p,p<=m。不僅可以對關鍵字直接取模，也可在折疊、平方取中等運算之后取模。對p的選擇很重要，一般取素數或m，若p選的不好，容易產生同義詞。

雙向平方試判（雙平方探測法）

為了解決二次聚集現象發明了雙平方探測法 當沖突產生時 向該沖突點的雙向以步長i^2（1 4 9 16 25…） 探測若保證散列表的長度是素數且滿足4K+3則可以遍歷整個散列表從而不存在二次聚集現象。

STL

STL 是“Standard Template Library”的縮寫，中文譯為“標准模板庫”。

#include<algorithm>

#include<bits/stdc++.h>（推薦）

sort()

sort函數用於給一個數組進行排序,在algorithm庫里。

使用方法為sort(v.begin(),v.end(),cmp)),這里的v.begin()是開始的指針位置，v.end()是結束的指針位置（這里的表示是左閉右開，也就是說v.end()並不在排序內容里），cmp可要可不要，如果使用的是自定義類型且沒有重載運算符就一定需要。

這個數組的類型可以是自定義類型或者STL中的vector，需要注意的是如果采用的是自定義類型則需要重載運算符（也可以如上面說的一樣用cmp）。

stack

模擬棧，在<stack>里。

stack <Type> A;

常用函數

A.push(a)；

入棧

A.pop()；

出棧

A.top()；

返回棧頂元素（但不出棧）

queue

模擬隊列，在<queue>里。

queue <Type> A;

常用函數

A.push(a)；

入隊

A.pop()；

出隊

A.front()；

返回隊首元素（但不出隊）

deque

雙端隊列

priority queue

優先隊列，一個類似於堆的數據結構,在<queue>里。

默認是大根堆，如果想讓他是小根堆的話有兩種辦法，其中一種是重載小於號。

能以O(logN)復雜度完成插入元素，刪除最值，尋找最值。

Priority_queue <Type> A;

常用函數

A.push(a)；

插入

A.pop()；

刪除最值（默認為最大值）

A.top()；

返回最值（但不刪除）

pair

一個包含兩個可以不同的數據值的類型。

pair <Type1,Type2> A;

往往Type1,Type2都是標准類型，但如果是自定義類型，需要重定義運算符；

常用函數

賦值:make_pair(t1,t2)；

返回對應的值:A.first,A.second；

vector

向量（Vector）是一個封裝了動態大小數組的順序容器。跟任意其它類型容器一樣，它能夠存放各種類型的對象。可以簡單的認為，向量是一個能夠存放任意類型的不定長的動態數組，在vector庫里。

定義方式:vector <Type> A；

容器特性

順序序列

順序容器中的元素按照嚴格的線性順序排序。可以通過元素在序列中的位置訪問對應的元素。

動態數組

支持對序列中的任意元素進行快速直接訪問，甚至可以通過指針算述進行該操作。提供了在序列末尾相對快速地添加/刪除元素的操作。

能夠感知內存分配器的（Allocator-aware）

容器使用一個內存分配器對象來動態地處理它的存儲需求。

相當於是個動態數組，每次可以往末端插入一個元素，下標從0開始。

實現方式是每次不夠大的時候暴力倍長，可以發現均攤是線性的。

常用操作

A.clear()；

清空

A.push_back(a)；

尾部添加元素

A.pop_back()；

尾部刪除元素

A.empty()；

檢查是否為空，空返回true

v.size()

這個一個unsigned int類型。也就是說對空的vector的size()-1會得到2^32-1。因此寫代碼的時候應帶盡量避免這種寫法。（或者強制類型轉化成int）

v.resize()

其復雜度是O(max(1, resize()中的參數-原來的size()))的。

如果是大小變大的resize()，且可以指定新擴展的位置的值。若未指定則調用其默認構造函數，例如int之類的會默認是0。

v.clear()和vector<int>().swap(v)的區別。

前者是假裝清空了，實際內存沒有被回收。

后者是真的回收了，不過需要和v.size()的大小成正比的時間。

后者的意思是使用vector<>()這句話調用無參的構造函數生成一個vector<>類型的對象，然后和v交換，之后其生存期結束被銷毀會自動調用其~vector<>()析構函數。注意<>里面要寫v一樣的類型（例如int）

set

一個存儲集合的容器，在set庫里。

map相當於是一個下標可以是任何數值的數組，如果訪問時沒有賦值就會返回零。

內部使用紅黑樹（一種平衡樹）實現。

當set<>中的第一個參數是自定義類型的時候需要重新定義小於號。

復雜度基本上是O(log(當前大小))。

定義方式:set <Type> A；

常用函數

A.insert(a)；

插入a

A.erase(a)；

刪除a:

A.find(a)；

查找a，如果查找成功，返回對應指針，查找失敗返回尾指針

A.begin(),A.end()；

返回頭指針與尾指針，尾指針不存儲具體內容

map

存儲一個從key到value的映射。某種意義上就是“廣義”數組，在map庫里。

map相當於是一個下標可以是任何數值的數組，如果訪問時沒有賦值就會返回零。

內部使用紅黑樹（一種平衡樹）實現。

當map<,>中的第一個參數是自定義類型的時候需要重新定義小於號。

復雜度基本上是O(log(當前大小))

map <Type1,Type2> A;Type1是key類型，Type2是value類型。

可以通過A[B]=C這種形式賦值，B為Type1，C為Type2。

常用函數

A.clear()；

清空

A.empty()；

判斷是否為空

A.insert(pair<Type1，Type2> (C,D))；

插入（不建議這么寫）

A.erase(B)；

刪除，B可以是key值也可以是指針

A.begin(),A.end()；

頭指針，尾指針

m[x]

哪怕你什么也不干只寫一個m[x];也會新建一個點。

因此當你想知道map中是否存在這個映射的時候最好使用m.count(x)。

很多時候可以有效卡常。

multiset和multimap

是可重集合和可重映射。

有兩個注意的：第一個是count函數復雜度變成了O(lg(集合大小)+答案)的，也就是如果有很多相同元素，那么count函數代價很大。

第二個是刪除x的話，使用s.erase(x)會把所有權值為x的刪除。

如果只想刪掉一個需要s.erase(s.find(x))。

unordered_set和unordered_map

基於哈希實現的集合和映射。

基本上里面的類型只能是int,long long,double這種非自定義類型。 因為其基於哈希）

在c++11及以后存在，之前沒有，亂用可能會CE。

空間常數比較大，時間常數不小，比數組訪問慢很多，慎用。

不能順序遍歷，不支持lower_bound。

迭代器

只介紹set/map的迭代器。

bitset

高精度壓位二進制。

一個用於處理二進制串的“數組”,在<bitset>里。

所有時間復雜度是線性的操作，常數都是1/32大概。

下標從0開始。

bitset <n> A;//n為長度；

支持所有位運算： << , >> , & , | , ^ ；

常用函數

A.count()；

統計1的個數

A.reset()；

清0

A.set()；

全賦為1

A.size()；

返回位數

lower bound()/upper bound()

lower_bound(v.begin(),v.end(),c)可以在一個有序數組當中找出剛好大於或等於c的數，在algorithm庫里,可以使用自定義類型，用法與sort相類似。

upper_bound函數類似，這個函數則是在有序數組中找出剛好大於c的數。

next permutation/prev permutation(全排列算法)

algorithm頭文件中包含了next_permutation(v.begin(),v.end())和prev_permutation(v.begin(),v.end())兩個全排列函數，分別給出一個序列在全排列中的下一個和上一個序列(按字典序)，如果存在這樣的序列則返回true，不存在則返回false，但仍會得到一個序列。

對於一個任意元素不相同的序列來說，正序排列是最小的排列方式，相應的逆序排列是最大的排列方式，以整數序列{1,2,3}為例，{1,2,3}是第一個排列，{3,2,1}則是最后一個排列，因此序列{1,2,3}沒有上一個序列，{3,2,1}沒有下一個序列。

pq.swap(pq2)

補充

namespace

命名空間，之后寫代碼長的時候用來避免變量名或者函數名重名的。主要是同一個namespace里面默認使用自己名字空間的東西。

std一般是教師專用賬號。

對於107~108的數據，一般運行1s左右。

並非原創，僅是整理，請見諒