本文內容來自“Protecting Privacy throughHomomorphic Encryption”，主要學習里面的CKKS部分。
CKKS是一種同態加密方案，其安全性依賴於RLWE問題。明文是實數向量，表示為定點類型計算方式（實數表示方法：浮點計算和定點計算）。該方案很支持以SIMD方式在這些向量之間進行定點運算。
CKKS方案涉及幾個參數，這些參數決定了該方案支持的安全級別、功能和精度。這些參數是：
1、與計算精度相對應的小數位數f；
2、（最大的）密文模數q；
3、密文維數n
我們假設每一個明文值都表示為一個二進制定點數，它在小數點后有f個小數位。密文的f值可以在使用重縮放后進行調整，這是CKKS的一個顯著特征。
這里介紹實數的表示方法：
對實數的計算有兩種表示形式
例如：
（有效位：6位；縮減因子：2^-5）
（這里一個實數（浮點數），可以分成兩部分表示，整數部分叫做“有效位”，小數部分叫做“縮減因子”）
1、浮點計算
（有效位：6位；縮減因子：2^-4。有效位不變，縮減因子變）
2、定點計算
（有效位：7位；縮減因子：2^-5。有效位變，縮減因子不變）
在加密解密中，定點計算更合適，因為計算消耗更小（省去了約減縮減因子的計算）
密文模數q是決定方案加密計算能力的主要參數。CKKS方案的密文由2n個模q的整數組成（比如：\((c_1,c_2),c_1和c_2都是n維的向量（或者說是一個n次項的多項式）\)。參數q越大，對密文執行的操作越多，精度越高。對於給定的q值，密文維數n決定了方案的安全級別，n越大表示安全性越高。讀者可以參考《參數選擇》那部分了解更多細節。
如上所述，CKKS允許我們加密多個定點數字在一個密文中（可以理解為，多個明文數字打包到一個明文多項式，然后加密成一個密文）。密文維數n還決定了明文多項式的大小，即n/2。
同態計算
所有涉及至少一個加密輸入的計算都會產生加密輸出。主要計算包括：
兩個參數
1、密文 加 密文
2、密文 加 明文
3、密文 乘 密文
4、密文 乘 明文
5、密文 減 密文
6、密文 減 明文
密文-密文和密文-明文的乘法返回一個密文，其縮減因子是輸入值的縮減因子的乘積。
密文-密文和密文-明文加法需要輸入的縮減因子匹配（意思就是，縮減因子要一致）。
單個參數
1、求逆
2、旋轉
3、重縮放
重縮放是在乘法運算之后進行，它是將輸入密文的縮放因子除以特定因子的一元運算。它控制同態計算期間縮放因子的大小。密碼模數在重新縮放操作后減小，如果密文模數太小，則不允許進一步乘法。
參數選擇
小數位數和加密方案支持的深度是需要考慮的主要參數。如果電路深度不超過由參數確定的界限，則可以對電路進行加密評估（意思就是可以繼續執行密文計算）。
精度損失和溢出是定點算法的兩個主要問題。CKKS中的密文在加密和計算后會產生錯誤，這是由參數f控制的。f越大意味着結果越准確，但計算成本會隨着f的增加而增加。同時，密文的大小必須充分小於密文模數q，以確保計算期間不會發生溢出。
最大密文模數q主要由待評估電路的乘法深度（意思就是可以執行多少次乘法計算）和精度參數f決定；更高的深度和更高的精度需要更大的密文模數，並且通常較慢。因此，一種常見的優化技術是將計算任務表示為深度最小的電路。例如，計算四個加密數字A、B、C和D的乘積最好是（A∗ B）∗ （C∗ D） 而不是A∗ （B∗ （C∗ D）），因為前者具有較低的乘法深度，因此需要較小的密文模數。
更具體的以下面的圖為例：
一旦確定了q，現在就可以使用“全同態加密標准 ”中的表來確定密文維度n的下限，以達到所需的安全級別。建議應用程序開發人員使用實現“全同態加密標准 ”標准的庫，並自動選擇正確的表，因為選擇正確的表需要了解實現的某些細節，例如密鑰分發。
CKKS的小例子
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// Created by Pam on 2022/2/7.
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// 首先定義參數f：小數位數，q：密文最大模數，n：密文維數
f=2;
q=65537;
n=8;
// 使用f=2的小數位的十進制表示
// 注意這里的設置並不安全！
// 要獲得q=65537的方案安全性，我們至少需要n=512
// 使用這些參數，明文向量的大小為4（這里注意，明文維數：n/2）
// 用這些參數生成密鑰
myPublicKey,mySecretKey=generateCKKSkey(n,q);
// 加密數據時，每個明文是由4個元素組成的向量
encrypted_a = encrypt(myPublicKey, [1.53, -11.53, 0.02, -3.32])；
encrypted_b = encrypt(myPublicKey, [12.29, 7.52, -14.47, 11.01])；
excrypted_c = encrypt(myPublicKey, [2.64, 10.78, -15.30, 13.34])；
// 現在得到了三個密文
// 現在將encrypted_a + encrypted_b
// 幸運的是，可以使用了同態加密，所以實際上可以這樣做
encrypted_d = addCiphertexts(myPublicKey,encrypted_a, encrypted_b)；
// 得到密文向量 [13.82, -4.01, -14.45, 7.69]
// 現在將encrypted_a * encrypted_b * excrypted_c
encrypted_e = multiplyCiphertexts(myPublicKey, encrypted_c,encrypted_d)；
// 得到密文向量 [36.48, -43.23, 221.09, 102.58]
// 然后向右旋轉2
// CKKS中的旋轉大多就是進行對於矩陣的旋轉，通俗一點講就是，對於矩陣來說，旋轉列可能就是將一列元素進行向左或者是向右進行平移。旋轉行可能就是將矩陣的每兩行進行對調，從而實現旋轉的操作。
encrypted_f = rotateBy2(myPublicKey, encrypted_e)；
// 解密，使用私鑰
decrypted = decrypt(mySecretKey, encrypted_f)；
print(decrypted)；
// 輸出： [221.09, 102.58, 36.48, -43.23]
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數據編碼
在使用CKKS方案加密數據之前，需要對明文進行單獨的編碼操作。CKKS編碼會導致精度損失，因此必須首先將明文向量乘以縮減因子（由方案參數確定），以確保編碼后保持足夠的精度。然后，將縮放后向量轉換為方案的明文形式。密文中隱藏的縮減因子可能發生變化正在同態計算過程中。解密后，需要進行相應的解碼操作。
密文模數（q）決定了編碼后的底層明文上限（q/2），以保證其正確解密。例如，將密文模數設置為q=1024意味着縮放因子為32，加密12.34的密文可以正確解密，但使用縮放因子為256，加密相同的值將導致溢出。
這里不太理解： the underlying encoded plaintext，是什么意思，好幾次見到了，希望大佬解惑？
其他操作
CKKS方案還使用了一些操作，這些操作不會改變底層明文（除了一些可能的精度損失之外），但出於實現原因，仍然需要這些操作。
1、密文-密文乘法和循環向量旋轉的副作用是，解密結果所需的密鑰與操作前所需的密鑰不同。因此，這些操作之后是密鑰轉換操作，以將密鑰轉換回原始密鑰。密文-密文乘法的密鑰切換操作也稱為重線性化。
重線性化：在CKKS中是縮減密文的維數，保證密文的大小。
密鑰轉換：改變密文對應的密鑰，重新生成一個新的密文，所對應的密鑰也不同！
重線性化濕密鑰轉換的一個實例！
2、Bootstrapping可以“刷新”密文並提高密文模數，以支持更多的計算。這種操作成本很高，因此不經常使用（有時甚至沒有實現）。
重縮放：CKKS中的rescaling是為了保證縮放因子不變，同時降低噪音，但會造成密文模數減少，所以只能構成有限級全同態方案，這里的bootstarpping能后提升密文模數，所以使用bootstrapping技術可以構造全同態！
計算密鑰
密鑰切換操作要求計算者能夠有一個公開的特殊計算密鑰。計算密鑰的生成必須由私鑰所有者完成。在密文-密文乘法中，這些密鑰通常被稱為重線性化密鑰；在密文旋轉中，它們有時被稱為旋轉密鑰或伽羅瓦密鑰（Galois keys）。bootstarpping過程也需要這樣的計算密鑰。
CKKS的參考
CKKS加密方案最早是在[Homomorphic Encryption for Arithmetic of Approximate Numbers]中提出的。出於與BFV方案相同的原因，需要在RNS中表示大整數。已經提出並實施了CKKS方案的幾個RNS變體，包括[A Full RNS Variant of the Approximate Homomorphic Encryption,Optimized Homomorphic Encryption Solution for Secure Genome-Wide Association Studies,Semi-Parallel Logistic Regression for GWAS on Encrypted Data]和[Better Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption]。現在的HE庫通常實現這些RNS變體的組合，並經常添加自己的優化/可用性改進。[Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption,Improved Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption,Better Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption]中描述了CKKS的bootstrapping。
接下來搞明白RNS是什么？
實現
以下開源庫具有CKKS的開源實現：
• HEAAN/RNS-HEAAN
• HElib
• Lattigo
• Microsoft SEAL
• PALISADE