數學知識——正方形、矩形數量的計算

 P2241 統計方形（數據加強版） - 洛谷 | 計算機科學教育新生態 (luogu.com.cn)

1.矩形、正方形數量公式：

　　

 

運用小學時代的公式（設長為n，寬為m）：

(1+2+3+...+n)(1+2+3+...+m)

或

nm(n+1)(m+1)/4（等差數列的化簡）

即可算出長方形個數。下面給出證明（請看上圖）：

在AD中，單位長度為1的有兩個，AJ,JD。單位長度為2的有一個，AD。同理,AB中單位長度為1的有三個，單位長度為2的有兩個，單位長度為3的有一個。

每一種情況對應着鄰邊的所有情況。比如AJ對應AE,EF,FB,AF,EB,AB   就是AB中的所有情況！這樣就可以推導出上方的兩個公式。

那正方形怎么求呢？其實，正方形就是上方公式的特殊情況，即單位長度相等的情況。可以有公式 ( n - i + 1 ) * ( m - i +  1) 求和----- i 的范圍為[ 1 , min ( n , m ) ]

 

 

 

 

 

2.正方形數量計算：

　　假設圖形之前正方形總數為sum1，若圖形橫向或縱向擴展一格，此時右下角坐標為 [ i , j ]，那么擴展后的圖形中正方形最多有sum1+min( i , j )個

3.矩形數量計算：

　　假設圖形之前矩形總數為sum2，若圖形橫向或縱向擴展一格，此時右下角坐標為 [ i , j ]，那么擴展后的圖形中矩形最多有sum2+i * j 個

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    long long x=n*(n+1)/2,y=m*(m+1)/2;
    
    int minn=min(n,m),maxx=max(n,m);
    
    long long sum1=0;
    for(int i=1;i<=minn;i++)
        sum1+=(n-i+1)*(m-i+1);
    
    printf("%lld %lld",sum1,x*y-sum1);
    
    return 0;
}

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    long long ans1=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            ans1+=min(i,j);
            ans2+=i*j;
        }
    }
    
    printf("%lld %lld",ans1,ans2-ans1);
    return 0;
}