信息的加密與去密
信息加密的簡單模型如圖所示：
就是先對數字信息\(x\)做一個變換\(E\)，將變換后的信息\(y=E(x)\)發出，接收方收到信息\(y\)后，進行一個相反的變換\(D\)(也就是\(E\)的逆運算)，恢復成數字信息\(x=D(y)\)，從而識別原始信息。
通常把數字信息\(x\)叫做明文，加密后得到的數字信息\(y\)叫做密文，變換\(E\)和\(D\)分別叫做加密和去密的秘鑰。一般來說，秘鑰對\({E, D}\)由發送方和接收方約定和保存，不被外人所知。
例如，凱撒加密法，加密運算\(E(k) = k + 19(mod \ 31)\)，去密運算\(D(k) = k+12(mod \ 31)\)，這是互逆操作，即\(DE(k) = ED(k)=k\)。
- 這有一個缺點，由於D, E都非常簡單，已知一個很容易推出另一個。這相當於已知公鑰能推出私鑰，顯然不能用於公開秘鑰體制。
- 另一個缺點，兩兩之間需要保存一個秘鑰對\({E, D}\)，如果是2000人相互通信，每個人都需要存\(C_{2000}^2 = 1 999 0000\)對
RSA加密算法
1976年，美國斯坦福大學的年輕數學家狄菲(Diffe)和計算機專家(Hellman)提出一種新的加密方法，叫做公開秘鑰體制。在這種體制下，信息的加密和去密使用兩個不同的秘鑰，加密用公鑰(公開的，任何人都可以看到)，去密用私鑰(嚴格保密)。
1977年，美國MIT計算機科學實驗室的列維斯特(Rivest)等人基於大數分解的復雜性提出了一個方案，就是RSA。
RSA算法的具體描述如下：
(1)任意取兩個不同的大素數\(p\)和\(q\)，計算乘積\(n=pq\)，\(\varphi (n) = (p-1)(q-1)\)
(2)任取一個大整數\(e\)，使得\(gcd(e, \varphi (n)) = 1\)，注意：\(e\)是很容易取的，例如所有大於p和q的素數都可用
(3)計算出一個正整數\(d\)，使得\(ed \equiv 1(mod \ \varphi (n))\)，根據拓展歐幾里得定理很容易得到
(4)將\(n, e\)公開，\(d\)保密
(5)將明文\(x\)加密為密文\(y\)，加密算法為 \(y = E(x) = x^e(mod \ n)\)
(6)將密文\(y\)解密為明文\(x\)，解密算法為 \(D(y) = y^d(mod \ n) = x\)
這里需要證明一下為什么 \(D(y) = y^d(mod \ n) = x\)，因為根據歐拉定理
設\(n\)為正整數，\(a\)為任意整數，且\((a, n)=1\)，則
因此\(D(y) = y^d(mod \ n) = (x^e)^d(mod \ n) = x^{1 + k\varphi (n)}(mod \ n) = x\cdot (x^{\varphi (n)})^k(mod \ n) = x\)
一個有趣的一點：RSA也是互逆的，即\(ED(x) = DE(x) = x\)。
所以理論上，你可以用私鑰加密數據，發送別人別人用公鑰解密(這個過程叫簽名)。但通常都是別人用公鑰加密，你用私鑰解密發送過來的數據(這個過程叫加密)。
那有沒有可能已知一個秘鑰，推出另一個秘鑰？
比如公鑰\({n, e}\)是公開的，想借此推出私鑰\({n, d}\)。因為\(ed \equiv 1(mod \ \varphi (n))\)，所以需要知道\(\varphi(n)\)。而\(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\)，因此需要將\(n\)分解成素因式\(pq\)，而這是一個復雜性很高的問題。
數字簽名
利用數字簽名做身份認證，證明這條信息來自某某。
在公開秘鑰體制之前，身份認證一直沒有很好的解決方案。如今采用公開秘鑰體制做身份認證就很簡單。
在A向B發送信息之前，將信息\(x\)(比如寫的"我是A")，先用A的私鑰加密，得到\(y = E_A (x)\)(數字簽名)，把\(y\)傳送給\(B\)后，\(B\)在公鑰本上找到\(A\)的公鑰，從而得到\(y\)對應的明文\(x\)。由於別人不知道\(A\)的私鑰，沒辦法偽造相同的信息，所以這個信息一定是來自\(A\)的。
同時進行簽名和加密
在公開密鑰體制下，發送方可以同時對信息進行簽名和加密。
例如甲要向乙發送信息，先用自己的私鑰簽名，再用對方的公鑰加密；接收方先用自己的私鑰解密，再用對方的公鑰解密，得到明文。
參考鏈接：
- 高中數學A版選修4-6 初等數論初步.pdf
- 百度百科-RSA算法