《道路工程》——（十）路線坐標與方位角計算

路線坐標與方位角計算

目錄

• 路線坐標與方位角計算
  • 用控制點坐標和直線段斜率確定直線段
  • 道路曲線段的方程和坐標計算
    • 確定偏角
    • 圓曲線要素計算
    • 圓曲線各特征點坐標計算
    • 里程樁的編制

高等級公路及城市道路的設計與施工放樣，均需用坐標系統，在地形圖上，城市三角網導線點，圖根導線點均測有坐標，路網規划階段即定出控制點的坐標及路線走向方位角。沿線建築物據此也測有坐標，以保證路線與沿線建築物的相對關系。在設計和測設中常用解析法（即坐標法）定線：通常先在地形圖上定線，計算直線段和曲線段的起訖點、轉折點和某些特征點的坐標值，然后按坐標進行實地放樣。以使點線關系建立在可靠的數據基礎上，獲得較高的精確度。

用控制點坐標和直線段斜率確定直線段

一條路線是由若干相交的直線段組成的。地形圖上定線后，可對每段直線選定兩個控制點或一個控制點和該線段的方位角（即從正北 \(\displaystyle X\) 軸方向順時針量到測線上的夾角，見圖 4-14）。

道路直線方程為

\[y = Kx + b \nonumber \]

式中， \(\displaystyle K\) 為斜率。

如已知直線上兩控制點 \(\displaystyle (x_1, y_1)、(x_2, y_2)\) ，則斜率：

\[K = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \nonumber \]

\(\displaystyle b\) 為直線與 \(\displaystyle Y\) 軸的截距：

\[b = y_1 - Kx_1 = y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x_1 \nonumber \]

則直線方程為

\[y = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x + y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x_1 \nonumber \]

道路曲線段的方程和坐標計算

確定偏角

如已知兩直線的方程為 \(\displaystyle y = K_1 x + b_1\) 和 \(y = K_2 x + b_2\) ，按聯立方程，可求得兩線交點 \(\displaystyle JD\) 的坐標為 \(\displaystyle (x_1, y_1)\) 。

由於 \(\displaystyle K_1 = \tan \theta_1, K_2 = \tan \theta_2\) ，可按公式 \(\displaystyle \theta = \arctan{\cfrac{\Delta y}{\Delta x}}\) 算出兩直線的方位角，兩線的交角即路線的偏角公式如下：

\[\alpha = \theta_1 - \theta_2 \nonumber \]

\(\displaystyle \alpha\) 為正值時，路線向左偏； \(\displaystyle \alpha\) 為負值時，路線向右偏。

圓曲線要素計算

道路的圓曲線要素可先選用 \(\displaystyle R\) 值，根據幾何關系求得（圖 4-15）：

切線長

\[T = R \tan{\cfrac{\alpha}{2}} \nonumber \]

外距

\[E = R \left( \sec{\cfrac{\alpha}{2}} - 1 \right) \nonumber \]

弧長

\[L = \cfrac{\pi}{180} R \alpha \nonumber \]

也可先按理想線位需要的外距 \(\displaystyle E\) 或切線長 \(\displaystyle T\) 為控制，反算 \(\displaystyle R\) 值。

圓曲線各特征點坐標計算

用 \(\displaystyle JD\) 坐標及曲線要素即可算得下列特征點坐標。

曲線起點 \(\displaystyle ZY\) 坐標：

\[\left.\begin{array}{l} x_{1}=x_{0}-T \cos \theta_{1} \\\ y_{1}=y_{0}-T \sin \theta_{1} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲線終點 \(\displaystyle YZ\) 坐標：

\[\left.\begin{array}{l} x_{2}=x_{0}+T \cos \theta_{2} \\\ y_{2}=y_{0}+T \sin \theta_{2} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲線中點 \(\displaystyle QZ\) 坐標：

\[\left.\begin{array}{l} x_{\text {中 }}=x_{0}+E \cos \theta_{0} \\\ y_{\text {中 }}=y_{0}+E \sin \theta_{0} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲線上任意點 \(\displaystyle P\) 坐標：

\[\left.\begin{array}{l} x_{P}=x_{1}+d_{P} \cos \theta_{P} \\\ y_{P}=y_{1}+d_{P} \sin \theta_{P} \end{array}\right\} \nonumber \]

式中 \(\displaystyle \theta_P —— ZY 至 P 邊之方位角\) ：

\[\theta_P = \theta_i \pm \Delta P \nonumber \]

\(\displaystyle d_P —— P 點距 ZY 的直線距離\) ：

\[d_P = 2R \sin{\Delta_P} \nonumber \]

式中 \(\displaystyle \Delta_P = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{l_P}{R} \times \cfrac{180^{\circ}}{\pi} \right) = 28.65 \cfrac{l_P}{R}\)

式中，\(\displaystyle l_P\) 為 \(\displaystyle P\) 點距直圓點 \(\displaystyle (ZY)\) 之圓弧長。

路線上主要樁點的坐標，可依路線前進方向依次計算，實例見圖 4-16 中附表。也可以每個轉點樁為原點進行計算（圖 4-16）。

里程樁的編制

1. 直線段上里程樁的編制
   直線段上里程樁的編制在於求算兩點間的間距 \(\displaystyle L_0\)。已知兩點坐標，可算出坐標增量 \(\displaystyle \Delta x = x_2 - x_1, \Delta y = y_2 - y_1\) ，再由 \(\displaystyle K = \tan \theta\) 查得 \(\displaystyle \cos \theta\) 和 \(\displaystyle \sin \theta\) ，即可求出：

   \[L = \cfrac{\Delta x}{\cos \theta} \nonumber \]

   也可求出

   \[L = \cfrac{\Delta y}{\sin \theta} \text{（用以校核）} \nonumber \]

   還可求出 \(\displaystyle L = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

   求得間距后，即可依次編里程樁。

2. 曲線上里程樁額編制
   直線上里程樁編制的 \(\displaystyle JD\) （轉點）樁號后，則

   \[\begin{align} \text{圓曲線起點樁號} \quad &ZY \text{樁號} = JD \text{樁號} - T \nonumber \\\ \text{圓曲線起點樁號} \quad &YZ \text{樁號} = ZY \text{樁號} + T \nonumber \\\ \text{圓曲線起點樁號} \quad &QZ \text{樁號} = YZ \text{樁號} - \cfrac{L}{2} \nonumber \\\ \text{驗算} \quad &JD\text{樁號} = QZ\text{樁號} + \cfrac{1}{2} (2T - L) \nonumber \end{align} \]