[題解] 密碼 | 簡單計數

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題目大意

對於滿足以下要求的長度為 \(n\) 的序列進行計數：

• 序列的值域為 \([1,k]\);

• 對於序列的任意位置 \(p\in[1,n]\)，可以找到至少一個 \(i\) 滿足 \(p\in[i,i+k-1]\)，且區間 \([i,i+k-1]\) 為一個 \(1\sim k\) 的排列。

\(n\le10^5,k\le100\)

解題思路

其實原本題意不是這樣的，試圖描述正式之后好像更難懂了。

密碼是一個長度為 \(n\) 的序列。

密碼由若干個 \(1\sim k\) 的排列拼接而成，且拼接時，不同排列可重疊。

於是不妨設 \(f_i\) 為最后一個完整排列的結尾是 \(i\) 的方案數。於是可以列出轉移式：

\[f_i=\sum_{j=1}^{k}f_{i-j}\times g_{j} \]

\(g_j\) 即在一個 \(1\sim k\) 的排列后接上 \(j\) 個數，使得滿足以下兩個條件的方案數：

• \([j+1,j+k]\) 是一個 \(1\sim k\) 的排列，

• 對於任意 \(1<i<=j,[i,i+k-1]\) 不是一個 \(1\sim k\) 的排列。

直接拿 \(1,2,3\cdots k\) 來考慮 \(g_j\) 怎么求，那么即要求一個 \(1\sim j\) 的排列，對於任意 \(i<j\)，這個排列 \([1,i]\) 的前綴位置上不能是一個 \(1\sim i\) 的排列，求滿足條件的排列個數。

考慮容斥，首先令 \(g_j=j!\)，然后考慮減去不合法的，對於一個不合法的排列，它可能存在若干個前綴符合 \([1,i]\) 是一個 \(1\sim i\) 的排列，那么我們枚舉每一個不合法排列最后一個違反限制的前綴，在這個位置將其減去。

假設當前枚舉到 \(i\)，首先 \([1,i]\) 這部分肯定是 \(i!\) 種填法，而 \([i+1,j]\) 這部分，由於我們欽定 \(i\) 是最后一個違反限制的前綴，故 \([1,i]\)與 \([i+1,j]\) 相接不可再違反限制，即對於任意 \(i<p<j,[i+1,p]\) 這一段上不能是將 \(i+1\sim p\) 這些數任意排列的結果，於是就變成子問題了，乘上 \(g_{j-i}\) 就好了。

所以就是兩個簡單的式子：

\[g_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}j!\times g_{i-j}\\ f_i=\sum_{j=1}^{k}f_{i-j}\times g_{j} \]

\(f_n\) 就是答案了，然后這個題大概還可以搞什么矩陣快速冪或者線性遞推，前者感覺沒必要，后者我不了解，於是就到此為止了 QwQ。