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數制在近兩年高考中分別在20年7月、21年1月和21年6月選擇題第4題出現，較為重要。
一、數的進制
進制是一種記數方式，亦稱進位計數法或位值計數法。利用這種記數法，可以使用有限種數字符號來表示所有的數值。任何一種數制都包含兩個基本要素：基和權。基又叫基數，是組成該數制的數碼個數，一般來說，k進制的基數就是k，包含k個數字；權又叫權值，是指每一個數位上的1對應的數值，可以表示為基數的若干次冪。十進制數的基數為10，十進制數234中2的權值是\(10^3\)，3的權值是\(10^1\)，4的權值是\(10^0\)，所以十進制數234還可表示為：\(2×10^2+3×10^1+4×10^0\)
除了生活中常見的10進制，計算機還有二進制、十六進制等，我們通常用一個下標來表示該數的進制(十進制數可以忽略)，也可以在該數的最后以字母來表示，見下表。
| 進位制 | 二進制 | 八進制 | 十進制 | 十六進制 |
|---|---|---|---|---|
| 標識 | B | O | D | H |
二、十進制
我們先來看6785: 3位數的每一位 輸入一個三位數的自然數，然后一次輸出這個數的每位上的數字，並用逗號分隔。
10進制的123為什么代表123呢，\(123=1*100 + 2*10 + 3*1\)，即123有1個100，2個10和3個1，也就是逢10進1，10進制中每一位只會出現0～9。
- 求個位最簡單，直接%10即可；
- 求十位呢，123有12個10，但是10個10是百位(10進制中每一位只會出現0～9，不能出現10)，所以任意一個數我們//10后再求次個位也就是%10就可以求出十位；
- 求百位也就是有幾個100，直接//100即可。
給定任意一個數，%10得到當前位，//10拋棄當前位，不斷重復下去，即可以得到其每一位。
參考代碼
n=int(input())
# 求出個位
c=n%10
# 求出十位（拋棄個位后再求個位）
b=n//10%10
# 求出百位（拋棄個位和十位后）
a=n//100
print(a,b,c,sep=',')
三、二進制
數據在計算機內部是以二進制方式進行存儲和處理的。計算機的內部有無數個負責開關的半導體元件，0代表開關的斷，1代表開關的合。生活中的二進制有邏輯上的“真”與“假”，黑白圖像中的“黑”與“白”。二進制由德國數學家萊布尼茨發明，到20世紀40年代應用在電子計算機中。二進制是計算機的核心。
二進制數的特點是
- 有兩個基本數碼：0，1。
- 采用逢二進一的進位規則。
二進制用字母B標識，例如\(\rm{1101.01B=1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0+0\times2^{-1}+1\times2^{-2}}\) 。\(2^3,2^2,2^1,2^0,2^{-1},2^{-2}\)是不同位置上的權值。
二進制中的0和1可以認為是有或無，可以嘗試下6831: 蘋果裝箱問題
四、十進制轉二進制
十進制和二進制之間關系
| 十進制 | 二進制 | 十進制 | 二進制 | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 8 | 1000 | |
| 1 | 1 | 9 | 1001 | |
| 2 | 10 | 10 | 1010 | |
| 3 | 11 | 11 | 1011 | |
| 4 | 100 | 12 | 1100 | |
| 5 | 101 | 13 | 1101 | |
| 6 | 110 | 14 | 1110 | |
| 7 | 111 | 15 | 1111 |
十進制數存在和二進制數以上的轉換關系，15以內的我們可以搞定了。若給定十進制數超過15求出其2進制值表示怎么做呢？
因為二進制僅存0和1，所以若可以求出位數，可以直接分別求出每一位是0還是1。十進制正整數n的二進制位數為\(\lfloor \log_2n \rfloor + 1\)，\(\lfloor {\quad} \rfloor\)表示向下取整。
參考代碼1
import math
n=int(input())
# num_of_digits 表示位數
num_of_digits = math.floor((math.log2(n))) + 1
# 用對應的權值分別求出0和1，最高位為2^(位數-1)，最低位為2^0
for i in range(num_of_digits-1,-1,-1):
# 當前位所對應的權值為2^i
current_digit = n // (2**i)
print(current_digit,end="")
# 求完之后減去當前位影響
n -= current_digit * (2**i)
6882: 十進制轉二進制提供了一種更為簡潔的方法，我們可以將其%2獲得當前位，然后//2拋棄當前位，直到0為止。
100/2 = 50···0
50 / 2 = 25···0
25 / 2 = 12···1
12 / 2 = 6···0
3 / 2 = 1···1
1 / 2 = 0···1
將所得的余數倒過來即得到答案1100100，如下圖所示。
直到0為止也就是while語句，我們可以寫出如下代碼：
參考代碼2
n=int(input())
# n_base_2 代表2進制數，初始為空
n_base_2 = ''
# 直到n為0結束
while n:
# n%2獲得當前位，為int，需要轉換為str字符串
# 先求出低位，最后求得高位。所以是當前位+之前求的
n_base_2 = str(n%2) + n_base_2
# 拋棄當前位
n = n // 2
print(n_base_2)
先求出的是低位，最后是高位，也就是先進后出的關系。滿足選修一第三章“棧”的性質，所以也可以用棧去完成。
參考代碼3
st = [-1]*100
# top代表頂端的位置，初始沒有值，所以頂端不存在為-1
top = -1
n = int(input())
# 直到0結束
while n:
# 要放在棧頂，棧元素個數+1
top = top+1
# 當前位進棧
st[top] = n % 2
# 拋棄當前位
n = n//2
# 按照棧從后往前輸出
while top >= 0:
print(st[top], end="")
top = top-1
Python的format函數非常強大，存在更簡單的寫法。
參考代碼4
n=int(input())
print(format(n,'b'))
五、二進制轉十進制
6883: 二進制轉十進制 給定二進制數，讓我們轉10進制。
第1位索引 i 為0，其對應為\(2^{位數-1}\)，也就是\(2^{n-1-i}\)，每一位依次累加即可。
參考代碼1
s = input()
# n存儲結果
n = 0
# 求出長度
l = len(s)
# 對每一位分別進行處理
for i in range(l):
# s[i]為當前位，類型為str，注意轉換
n += int(s[i])*2**(l-1-i)
print(n)
當然還存在其他做法，我們從前到后依次處理，每次都將上次得到的結果乘2+當前位，這樣正好每一位乘上的位權是正確的。
參考代碼2
s = input()
# n存儲十進制數
n = 0
# 對每一位分別進行處理
# 由於和索引無關，可以直接遍歷字符串
for i in s:
# 把上次結果*2+當前位
n = n * 2 + int(i)
print(n)
Python的int函數自帶進制的處理，直接利用代碼很短
參考代碼4
n = int(input(),2)
print(n)
六、十六進制
二進制數在實際使用中，由於位數太長，不便於書寫和記憶，所以人們常采用十六進制數來表示。
十六進制數的特點是
- 由十六個基本數碼組成，即0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F
- 采用逢十六進一的進位規則。
十六進制用字母H標識，\(\rm{B574H=11×16^3+5×16^2+7×16^1+4×16^0}\)。與二進制相類似，\(16^3，16^2，16^1，16^0\)是不同位置上的權值。
七、十六進制和其他進制轉換
十進制和十六進制之間關系
| 十進制 | 十六進制 | 十進制 | 十六進制 | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 8 | 8 | |
| 1 | 1 | 9 | 9 | |
| 2 | 2 | 10 | A | |
| 3 | 3 | 11 | B | |
| 4 | 4 | 12 | C | |
| 5 | 5 | 13 | D | |
| 6 | 6 | 14 | E | |
| 7 | 7 | 15 | F |
7031: 十進制轉十六進制。求10進制數的每一位我們用了%10得到當前位，//10拋棄當前當前位，不斷進行直到0為止。十進制轉二進制也是這樣，十六進制當然也同理，換為16就可以了，不過10～15還是需要我們特殊處理下。
參考代碼1
n=int(input())
# n_base_2 代表2進制數，初始為空
n_base_16 = ''
# 直到n為0結束
while n:
# n%16獲得當前位，為int，需要轉換為str字符串
# 先求出低位，最后求得高位。所以是當前位+之前求的
if n%16>=10:
# 求出其距離'A'的值，使用chr函數轉換過去
n_base_16 = chr(ord('A')+n%16-10) + n_base_16
else:
# 不變
n_base_16 = str(n%16) + n_base_16
# 拋棄當前位
n = n // 16
print(n_base_16)
上面的代碼卻錯了，為什么呢，因為數據包含了0，但是我們程序不能對0進行處理，所以需要將其特判掉。
if n==0:
n_base_16 = '0'
當然我們也可以提前建好索引表。
參考代碼
n=int(input())
base_16_table = "0123456789ABCDEF"
# n_base_2 代表2進制數，初始為空
n_base_16 = ''
if n==0:
n_base_16 = '0'
# 直到n為0結束
while n:
# n%16獲得當前位，為int，直接利用索引表找到對應字母
# 先求出低位，最后求得高位。所以是當前位+之前求的
n_base_16 = base_16_table[n%16] + n_base_16
# 拋棄當前位
n = n // 16
print(n_base_16)
7284: 十六進制轉十進制 與二進制轉十進制同理。
可以嘗試下以下題目
7207: 二進制轉十六進制 我們可以將二進制數先轉換為十進制，再將其轉換為十六進制。也可以從后往前，四位一組將其轉換為十六進制的一位，余下的單獨算。
7285: 十六進制轉二進制我們可以把十六進制的每一位單獨轉換，但是第一位要去除前導0，其他不能去，模擬起來要判斷一下，可以嘗試一下。也可以把十進制當作中間進制進行轉換。
*八、任意進制轉換
可以先嘗試下以下題目
7030: 十進制轉八進制 、7019: 二進制轉八進制簡易版、1386: 十轉換轉R進制
1386: 十轉換轉R進制 涉及讀到文件末尾結束和一行多個數字，可以參照以下讀入方式。
1386讀入參考代碼
# 捕捉異常，讀取不到就結束
try:
while True:
# split對字符串分割，然后轉為int對應給n和r
n, r = map(int, input().split())
### 你的代碼
except:
pass
6198: Alice與進制轉換進階版
給定R1進制的n讓我們轉換為r2進制的，我們需要以十進制作為中間進制，先轉為十進制，最后再轉回r2進制。
參考代碼
base_16_table = "0123456789ABCDEF"
def convert_to_base_10(n_base_r1,r1):
num = 0
if n_base_r1[0] == '-':
# 是負數，把負號去除，結果乘上-1即可
sign = -1
n_base_r1 = n_base_r1[1:]
else:
sign = 1
for i in n_base_r1:
# find函數可以找到出現i的下標
num = num * r1 + base_16_table.find(i)
return sign * num
def convert_to_base_r2(n,r2):
if n<0:
# 記下符號，將其當正數處理
sign = -1
n = -n
else:
sign = 1
n_base_r2 = ''
# 0特別處理
if n == 0:
n_base_r2 = '0'
while n:
n_base_r2 = base_16_table[n%r2] + n_base_r2
n = n // r2
if sign == -1:
return '-'+n_base_r2
return n_base_r2
# 捕捉異常，讀取不到就結束
try:
while True:
# split對字符串分割，然后轉為int對應給n和r
n_base_r1, r1, r2 = map(str, input().split())
# 把r1進制的n轉換為十進制的
n = convert_to_base_10(n_base_r1,int(r1))
# 把十進制的n轉換為r2進制的
n_base_r2 = convert_to_base_r2(n,int(r2))
print(n_base_r2)
except:
pass