(聯考)noip85

敗犬專場...

T1 莓良心

我打扮成你喜歡的樣子來看你了，廣，不，\(da，darling...\)

若 \(u,v\) 被分在同一組，則對答案有 \(w_{u}+w_{v}\) 的貢獻，於是：

\[\begin{aligned} \begin{array}{l} \text { ans }=\left(\sum w_{i}\right) \cdot\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}+\sum_{u \neq v}\left(w_{u}+w_{v}\right) \cdot\left\{\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right\} \\ \text { ans }=\left(\sum w_{i}\right) \cdot\left(\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}+(n-1)\left\{\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right\}\right) \end{array} \end{aligned} \]

直接算 \(O(n^{2})\) ，事實上只需要兩個，所以可以用容斥來算：

\[\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}=\frac{1}{k !} \sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}\left(\begin{array}{l} k \\ i \end{array}\right)(k-i)^{n} \]

快速冪爆算 \(O(n\log{n})\) ，線性篩可做到 \(O(n)\) 。

T2 盡梨了

我成為你心中的第一位了嗎？

首先通過臨項干擾來確定選擇的先后順序，在時刻 \(t\) ，如果先去 \(i\) 比先去 \(j\) 更優，那么則需滿足 \(a_{j}\times(b_{i}+1)<a_{i}\times{b_{j}+1}\) 。列個式子寫一下就能發現

按此排序后，就有個 \(O(n^{2})\) 的dp，設\(dp_{i,j}\) 表示從前 \(i\) 個中選了 \(j\) 個的最小時間，根據是否選第 \(i\) 個轉移即可。

直接做是 \(O(n^{2})\) 時間空間上都無法接受，如果沒有 \(a_{i}=0\) 的，那么時間增長是呈指數級的，所以最多去 \(\log T\) 個商店，於是第二維開到 \(\log{T}\) 即可。

如果有 \(a_{i}=0\) ，其一定排在序列末尾，先對 \(a_{i}\neq0\) 的做遍dp，剩下的按 \(b\) 排序，貪心選即可。

事實上第二維開到200即可通過此題

T3 團不過

眼淚沒能流出來。因為已經哭過很多次了。

正難則反，設 \(f_{i}\) 表示 \(i\) 堆石子時先手必敗的方案數， \(g_{i}\) 表示 \(i\) 堆石子合法的方案數，\(m=2^{n}-1\) 。那么最后答案即為 \(g_{n}-f{n}\) 。

則 \(g_{i}=m^{\underline{i}}\) ，第一堆有 \(m\) 個選擇，第二堆則有 \(m-1\) 個選擇，以此類推，就是下降冪的形式。

由 \(i-1\) 轉移到 \(i\) ，有一下幾種情況：

1. 前 \(i-1\) 堆任意選，通過調整第 \(i\) 堆使得異或和為0（一定存在），那方案數即為 \(g_{i-1}\) 。

2. 若前 \(i-1\) 堆異或和為0，若要先手必敗，則需要異或和為0，但第 \(i\) 堆不能為0，所以不合法，應減去，方案數即為 \(f_{i-1}\) 。

3. 若前 \(i-1\) 堆中有 \(i-2\) 堆異或和為0，如果要先手必敗，則只能讓第 \(i\) 堆跟前 \(i-1\) 堆中剩下的那一堆相等，不合法，應減去。剩下的那一堆有 \(i-1\) 個位置可選，有\(m-(i-2)\) 種取值（要保證前 \(i-1\) 堆是合法的，才能判斷是否先手必敗），前 \(i-2\) 堆先手必敗的方案數為 \(f_{i-2}\) ，那么此類總方案數即為 \((i-1)\times(m-(i-2))\times f_{i-2}\) 。

所以: \(f_{i}=g_{i-1}-f_{i-1}-(i-1)\times(m-(i-2))\times f_{i-2}\) ，直接遞推即可。

T4 七負我

既然真白你說不要的話，神田君就歸我了哦。

這部還沒看過呢

結論題。

考場多模樣例，多推性質。

100pts的話用meet in the middle 或 Born-Kerbosch找即可。