點面距的求解

前言

求解策略

• 若能直接做出此距離，直接求解即可

例題暫缺；

• 若不能直接做出此距離，常利用等體積法等思路轉換視角后求解與等體積法平行並列的思路是，若求點線距，那么可以借助等面積法求解；

【2022屆高三文科用題】已知直三棱柱\(A_{1}B_{1}C_{1}-ABC\)中，\(AB=AC=AA_{1}=1\)，\(\angle BAC=90^{\circ}\).

(1).求異面直線\(A_{1}B\)與\(B_{1}C_{1}\)所成角;

解： 在直三棱柱\(A_{1}B_{1}C_{1}-ABC\)中，\(AA_{1}\perp AB\)，\(AA_{1}\perp AC\)，\(AB=AC=AA_{1}=1\)，\(\angle BAC=90^{\circ}\)

所以，\(A_{1}B=A_{1}C=BC=\sqrt{2}\)

因為，\(BC//B_{1}C_{1}\)，所以\(\angle A_{1}BC\)為異面直線 \(A_{1}B\) 與 \(B_{1}C_{1}\) 所成的角或補角.

在\(\triangle A_{1}BC\)中，因為\(A_{1}B=A_{1}C=BC=\sqrt{2}\)，

所以，異面直線\(A_{1}B\)與\(B_{1}C_{1}\)所成角為\(\cfrac{\pi}{3}\).

(2).求點\(B_{1}\)到平面\(A_{1}BC\)的距離.

解：設點\(B_{1}\)到平面\(A_{1}BC\)的距離為\(h\)，

由(1)得\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\cdot\sin\cfrac{\pi}{3}\)

\(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(S_{\triangle AB_{1}B}=\cfrac{1}{2}\times1\times1=\cfrac{1}{2}\)，

因為，\(V_{B_{1}-ABC}=V_{C-A_{1}B_1B}\)，

所以，\(\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot h=\cfrac{1}{3}S_{\Delta A_{1}B_{1}B}\cdot CA\)，解得，\(h=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

所以，點\(B_{1}\)到平面\(A_{1}BC\)的距離為\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).